Um operador
é uma involução se
с uma projeção se
. Mostre que, se
é uma projeção e
é uma involuçāo, então
é uma projeçāo.
Passo 1
Vamos mostrar que o operador
é de fato uma projeção, isto é, satisfaz
. Aqui estamos em um espaço vetorial
e usamos que
-
é uma involução, ou seja, - uma projeção
é definida por
Passo 2
Calculemos
:
Como fator constante sai ao quadrado, temos
Passo 3
Expandindo o quadrado e usando
,
Logo
Resposta
Como
, concluímos que
é uma projeção.