(1,5 \mathrm{pt}) Um operador A: E \rightarrow E é uma involução se A^{2}=I с uma projeção se A^{2}=A. Mostre que, se P é uma projeção e S é uma involuçāo, então P=\frac{1}{2}(S+I) é uma projeçāo.

Passo 1

Vamos mostrar que o operador
P = \tfrac12\,(S + I)
é de fato uma projeção, isto é, satisfaz P^2 = P. Aqui estamos em um espaço vetorial E e usamos que
  1. S é uma involução, ou seja, S^2 = I,
  2. uma projeção P é definida por P^2 = P.

Passo 2

Calculemos P^2:
P^2 = \Bigl(\tfrac12\,(S + I)\Bigr)^2.
Como fator constante sai ao quadrado, temos
P^2 = \tfrac1{4}\,(S + I)^2.

Passo 3

Expandindo o quadrado e usando S^2 = I,
(S + I)^2 = S^2 + S\,I + I\,S + I^2 = I + S + S + I = 2I + 2S.
Logo
P^2 = \tfrac1{4}\,(2I + 2S) = \tfrac12\,(I + S) = P.

Resposta

Como P^2 = P, concluímos que P = \tfrac12\,(S + I) é uma projeção.

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