(1,0 pt) - Mudança de ordem de integração
Inverta a ordem de integração e calcule:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{x}\,dx\,dy.
O conteúdo envolve o Teorema de Fubini para trocarmos a ordem de integração, identificando a região no plano xy.

Passo 2

Vamos descrever a região
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y\le x\le1\}.
Para inverter a ordem, expresso R como
0\le x\le1,\quad 0\le y\le x.
Logo a integral vira
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}e^{x}\,dy\,dx.
Como e^{x} não depende de y, a integração interna é
\int_{0}^{x}e^{x}\,dy = e^{x}\bigl[y\bigr]_{0}^{x} = x\,e^{x}.
Portanto a dupla integral reduz-se a
\int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx
usamos integração por partes: tome u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}, resultando em
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x}-e^{x}+C.
Avaliando de 0 a 1:
\bigl[x\,e^{x}-e^{x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot e^{1}-e^{1}\bigr) - \bigl(0\cdot e^{0}-e^{0}\bigr) = (e-e) - (0-1) = 1.

Resposta

O valor da integral é 1.

Exercícios relacionados