( 1,5 \mathrm{pt} ) Considere um tabuleiro de xadrez 8 \times 8. De quantas maneiras podemos colocar 6 torres iguais, de modo que uma torre não possa atacar a outra?

Passo 1

O enunciado pide colocar 6 torres idênticas num tabuleiro de 8\times8 de modo que nenhuma ataque a outra. O conteúdo envolvido é contagem de disposições com restrição de no máximo uma torre por linha e por coluna, usando combinações e permutações.

Passo 2

Para que duas torres não se ataquem, não pode haver mais de uma torre por linha nem mais de uma por coluna. Logo, vamos escolher exatamente 6 linhas e 6 colunas onde as torres ficarão, e depois atribuir uma torre a cada par linha–coluna.

Passo 3

O número de maneiras de escolher 6 linhas dentre 8 é \binom{8}{6} e, de modo independente, escolher 6 colunas dentre 8 também é \binom{8}{6}. Portanto, até agora temos
\binom{8}{6}\times\binom{8}{6}.

Passo 4

Após escolher as 6 linhas e 6 colunas, precisamos emparelhar cada linha a uma coluna distinta para colocar uma torre em cada par. O número de bijeções entre 6 linhas e 6 colunas é 6!.

Passo 5

Multiplicando tudo, o total de disposições de 6 torres não atacantes é
\binom{8}{6}\times\binom{8}{6}\times6! =28\times28\times720 =564480.

Resposta

564480 maneiras.

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