( 2,0 pts) Quantos são os inteiros entre 1 e 4000 que são divisíveis por 3,7 ou 21 ?

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros entre 1 e 4000 são divisíveis por 3, 7 ou 21. O conteúdo envolvido é o Princípio da Inclusão-Exclusão e o cálculo de quantos múltiplos de um número há em um intervalo usando divisão inteira.

Passo 2

Para contar os múltiplos de 3 em [1,4000], observamos que o maior múltiplo de 3<=4000 é 3\lfloor 4000/3\rfloor. Portanto, o número de múltiplos de 3 é
\lfloor 4000/3\rfloor.

Passo 3

De modo análogo, o número de múltiplos de 7 em [1,4000] é
\lfloor 4000/7\rfloor.

Passo 4

Para não contar duas vezes os números divisíveis tanto por 3 quanto por 7, calculamos os múltiplos de \mathrm{lcm}(3,7)=21. O número de múltiplos de 21 em [1,4000] é
\lfloor 4000/21\rfloor.

Passo 5

Aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para as propriedades “múltiplo de 3” e “múltiplo de 7”. Como todo múltiplo de 21 aparece em ambas as contagens, a fórmula fica
N = \lfloor 4000/3\rfloor + \lfloor 4000/7\rfloor - \lfloor 4000/21\rfloor.

Passo 6

Calculando cada parte:
\lfloor 4000/3\rfloor = 1333,\quad \lfloor 4000/7\rfloor = 571,\quad \lfloor 4000/21\rfloor = 190.
Substituindo em N obtemos
N = 1333 + 571 - 190 = 1714.

Resposta

1714

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