(2,0 pts) Em um certo restaurante, n cavalheiros chegam portando chapéu, casaco e bengala. Na saídam há uma confusão, e estes objetos são distribuídos uniformemente ao acaso. Qual a probabilidade de que nenhum cavalheiro receba nenhum de seus pertences?

Passo 1

O enunciado diz que há n cavalheiros, cada um com um chapéu, um casaco e uma bengala, e que na saída esses três tipos de objeto são distribuídos ao acaso entre os mesmos n cavalheiros, de modo que cada um recebe exatamente um chapéu, um casaco e uma bengala. O que se quer é a probabilidade de que nenhum cavalheiro receba nenhum de seus próprios itens, ou seja, ele receba chapéu, casaco e bengala todos diferentes dos originais. Para resolver, vamos usar o conceito de derangement (permutação sem ponto fixo) e o fato de que as três distribuições (chapéus, casacos e bengalas) são independentes.

Passo 2

Considere primeiro apenas a distribuição dos chapéus. São n chapéus e n cavalheiros; o número de permutações sem ponto fixo (derangements) é
D_n \;=\; n!\,\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\,.
Como o total de permutações possíveis é n!, a probabilidade de ninguém receber seu próprio chapéu é
\frac{D_n}{n!} \;=\;\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\,.

Passo 3

Exatamente o mesmo raciocínio vale para os casacos e para as bengalas, pois cada tipo de objeto é distribuído por uma permutação independente. Logo, a probabilidade de ninguém receber seu próprio casaco também é \tfrac{D_n}{n!}, e idem para as bengalas.

Passo 4

Como as três permutações são independentes, a probabilidade de nenhum cavalheiro receber nenhum dos seus três itens é o produto das três probabilidades de derangement:
\Bigl(\tfrac{D_n}{n!}\Bigr)\times\Bigl(\tfrac{D_n}{n!}\Bigr)\times\Bigl(\tfrac{D_n}{n!}\Bigr) \;=\;\Bigl(\tfrac{D_n}{n!}\Bigr)^{3}.

Resposta

\boxed{\;\Bigl(\frac{D_n}{n!}\Bigr)^{3} \;=\;\Biggl(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\Biggr)^{3}\;.}

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