(2,0 pts) Em um certo restaurante,
cavalheiros chegam portando chapéu, casaco e bengala. Na saídam há uma confusão, e estes objetos são distribuídos uniformemente ao acaso. Qual a probabilidade de que nenhum cavalheiro receba nenhum de seus pertences?
Passo 1
O enunciado diz que há
cavalheiros, cada um com um chapéu, um casaco e uma bengala, e que na saída esses três tipos de objeto são distribuídos ao acaso entre os mesmos
cavalheiros, de modo que cada um recebe exatamente um chapéu, um casaco e uma bengala. O que se quer é a probabilidade de que nenhum cavalheiro receba nenhum de seus próprios itens, ou seja, ele receba chapéu, casaco e bengala todos diferentes dos originais. Para resolver, vamos usar o conceito de derangement (permutação sem ponto fixo) e o fato de que as três distribuições (chapéus, casacos e bengalas) são independentes.
Passo 2
Considere primeiro apenas a distribuição dos chapéus. São
chapéus e
cavalheiros; o número de permutações sem ponto fixo (derangements) é
Como o total de permutações possíveis é
, a probabilidade de ninguém receber seu próprio chapéu é
Passo 3
Exatamente o mesmo raciocínio vale para os casacos e para as bengalas, pois cada tipo de objeto é distribuído por uma permutação independente. Logo, a probabilidade de ninguém receber seu próprio casaco também é
, e idem para as bengalas.
Passo 4
Como as três permutações são independentes, a probabilidade de nenhum cavalheiro receber nenhum dos seus três itens é o produto das três probabilidades de derangement: