(1,5 pt) De quantos modos 10 pessoas podem ocupar três salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de distribuir
pessoas distintas em
salas distintas, de modo que cada sala receba pelo menos
pessoas. O conteúdo envolve princípio multiplicativo e cálculo de combinações.
Passo 2
Sejam
as quantidades de pessoas em cada sala, com
e
. Como o mínimo em cada uma é
, o total mínimo é
, sobrando
pessoa extra. Logo, exatamente uma das salas terá
pessoas e as outras duas terão
cada. Como as salas são distintas, há
escolhas de qual sala recebe
pessoas.
Passo 3
Para uma distribuição fixa, digamos sala A com
, sala B com
e sala C com
, o número de maneiras é:
escolher das
para A, depois
das
restantes para B, e as
finais vão para C.
escolher
Passo 4
Calculando as combinações:
então para essa distribuição há
maneiras. Como existem
escolhas de qual sala fica com
pessoas, o total é
Resposta
(maneiras)