(1,5 pt) De quantos modos 10 pessoas podem ocupar três salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir 10 pessoas distintas em 3 salas distintas, de modo que cada sala receba pelo menos 3 pessoas. O conteúdo envolve princípio multiplicativo e cálculo de combinações.

Passo 2

Sejam n_1,n_2,n_3 as quantidades de pessoas em cada sala, com
n_1 + n_2 + n_3 = 10
e n_i \ge 3. Como o mínimo em cada uma é 3, o total mínimo é 9, sobrando 1 pessoa extra. Logo, exatamente uma das salas terá 4 pessoas e as outras duas terão 3 cada. Como as salas são distintas, há 3 escolhas de qual sala recebe 4 pessoas.

Passo 3

Para uma distribuição fixa, digamos sala A com 4, sala B com 3 e sala C com 3, o número de maneiras é:
escolher 4 das 10 para A, depois 3 das 6 restantes para B, e as 3 finais vão para C.
\binom{10}{4}\,\binom{6}{3}\,\binom{3}{3} \;=\;\binom{10}{4}\,\binom{6}{3}.

Passo 4

Calculando as combinações:
\binom{10}{4} = 210, \quad \binom{6}{3} = 20,
então para essa distribuição há
210 \times 20 = 4\,200
maneiras. Como existem 3 escolhas de qual sala fica com 4 pessoas, o total é
3 \times 4\,200 = 12\,600.

Resposta

12\,600
(maneiras)

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