(1.5 pt) Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive são divisíveis por pelo menos dois dos números 3,5,8 ?

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos contar quantos inteiros de 1 a 1000 são divisíveis por pelo menos dois dos números 3, 5 e 8.
Conteúdo: combinatória básica com conjuntos, mínimo múltiplo comum (MMC) e princípio da inclusão-exclusão.
Estratégia: definir os conjuntos
A=\{n:3\mid n\text{ e }5\mid n\},\quad B=\{n:3\mid n\text{ e }8\mid n\},\quad C=\{n:5\mid n\text{ e }8\mid n\},
calcular |A|, |B|, |C|, depois |A\cap B\cap C| e, por fim, a união A\cup B\cup C.

Passo 2

Calcular |A|, |B| e |C| via MMC:
\text{MMC}(3,5)=15,\quad |A|=\flr*{\frac{1000}{15}}=66.
\text{MMC}(3,8)=24,\quad |B|=\flr*{\frac{1000}{24}}=41.
\text{MMC}(5,8)=40,\quad |C|=\flr*{\frac{1000}{40}}=25.

Passo 3

Calcular o triplo encontro A\cap B\cap C, isto é, múltiplos de
\text{MMC}(3,5,8)=\text{MMC}(15,8)=120,
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|A\cap B\cap C|=\flr*{\frac{1000}{120}}=8.

Passo 4

Aplicar o princípio da inclusão-exclusão para a união A\cup B\cup C:
|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -\bigl|A\cap B\bigr|-\bigl|A\cap C\bigr|-\bigl|B\cap C\bigr| +\bigl|A\cap B\cap C\bigr|.
Mas \,A\cap B, A\cap C e B\cap C são todos iguais a A\cap B\cap C (pois cada par tem MMC igual a 120), portanto
|A\cup B\cup C| =66+41+25-(8+8+8)+8 =132-24+8 =116.

Resposta

116 integers between 1 and 1000 are divisible by at least two of the numbers 3, 5 and 8.

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