( 2,5 \mathrm{pt} ) Resolve o problema do valor inicial,
\left((1-x) e^{y-x}-x e^{-x}\right) d x+\left(e^{y}+x e^{y-x}\right) d y=0, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial exata
((1-x)e^{y-x} - x e^{-x})\,dx + (e^y + x e^{y-x})\,dy = 0
com condição y(0)=0. Para isso vamos (1) verificar se é exata, (2) encontrar a função potencial \Phi(x,y) e (3) usar a condição inicial para achar a constante. Beleza?

Passo 2

Definimos
M(x,y) = (1-x)e^{y-x} - x e^{-x} \quad\text{e}\quad N(x,y) = e^y + x e^{y-x}
e calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = (1-x)e^{y-x}
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y-x} - x e^{y-x} = (1-x)e^{y-x}
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe \Phi(x,y) com \partial\Phi/\partial x = M(x,y). Integramos em x:
\int\bigl((1-x)e^{y-x} - x e^{-x}\bigr)\,dx = x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + h(y)
Logo
\Phi(x,y) = x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + h(y).

Passo 4

Impondo \partial\Phi/\partial y = N(x,y), temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + h(y)\bigr) = x e^{y-x} + h'(y)
que deve ser igual a
e^y + x e^{y-x}.
Daí
h'(y) = e^y \quad\Rightarrow\quad h(y) = e^y + C.
Portanto
\Phi(x,y) = x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + e^y
e a solução geral é
\Phi(x,y) = k.

Passo 5

Usando y(0)=0, calculamos
\Phi(0,0) = 0\cdot e^0 + 1\cdot e^0 + e^0 = 2
logo k=2. A solução particular satisfaz
x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + e^y = 2.

Resposta

x e^{y-x} + (x+1)e^{-x} + e^y = 2

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