(2,5 pt) Resolve a equação diferencial
x d y+\left(3 y-\frac{\ln x}{x}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,dy+\Bigl(3y-\frac{\ln x}{x}\Bigr)\,dx=0.
Este é um problema de equação de primeira ordem, linear em y(x). Vamos colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação original por dx e por x, obtemos
\frac{dy}{dx}+ \frac{3}{x}\,y = \frac{\ln x}{x^2}.
Aqui P(x)=\tfrac{3}{x} e Q(x)=\tfrac{\ln x}{x^2}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(3\ln x) = x^3.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por x^3, fica
x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2\,y = x^3\cdot\frac{\ln x}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2\,y = x\,\ln x.
O lado esquerdo é exatamente \dfrac{d}{dx}(x^3y). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^3y\bigr) = x\,\ln x.

Passo 5

Integramos em x:
x^3y = \int x\,\ln x\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\ln x, dv=x\,dx, obtemos
\int x\,\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.
Portanto
x^3y = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{1}{x^3}\Bigl(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C\Bigr) = \frac{\ln x}{2x} - \frac{1}{4x} + \frac{C}{x^3}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = \frac{\ln x}{2x} - \frac{1}{4x} + \frac{C}{x^3},}
onde C é constante arbitrária.

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