(2,5 pt) Resolve o problema do valor inicial
y^{\prime}=-3 \frac{y}{x}+\frac{\cos x}{x^{2}}, y(\pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=-3\,\frac{y}{x}+\frac{\cos x}{x^{2}},\quad y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
y'+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=3/x e q(x)=\cos x/x^2. Vamos usar o fator integrante para obter a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(3\ln x\bigr) =x^{3}.
Multiplicando a equação original por x^3, o lado esquerdo vira a derivada de x^3y.

Passo 3

Multiplicando por x^3 obtemos
x^3y' +3x^2y = x^3\frac{\cos x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^3y\bigr)' = x\cos x.
Integramos ambos os lados:
x^3y = \int x\cos x\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x\cos x\,dx, com u=x, dv=\cos x\,dx, vem
\int x\cos x\,dx = x\sin x +\cos x + C.
Logo
x^3y = x\sin x + \cos x + C.

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x)=\frac{x\sin x + \cos x + C}{x^3}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(\tfrac\pi2)=1:
1 = y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =\frac{\tfrac\pi2\cdot\sin(\tfrac\pi2)+\cos(\tfrac\pi2)+C} {\bigl(\tfrac\pi2\bigr)^3} =\frac{\tfrac\pi2 +0 +C}{\pi^3/8} \;\Longrightarrow\; \tfrac\pi2 +C = \frac{\pi^3}{8}
\Longrightarrow\; C = \frac{\pi^3}{8}-\frac\pi2 =\frac{\pi^3-4\pi}{8}.

Resposta

y(x) =\frac{x\sin x + \cos x + \dfrac{\pi^3-4\pi}{8}}{x^3}.

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