(2,5 pt) Resolve o problema do valor inicial
y^{\prime}-\frac{7}{1-x} y=\frac{x}{(1-x)^{9}}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - \frac{7}{1-x}\,y = \frac{x}{(1-x)^{9}}, \quad y(0)=1.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma padrão y' + p(x)\,y = q(x). Aqui
p(x) = -\frac{7}{1-x}, \quad q(x) = \frac{x}{(1-x)^{9}}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(-7\int \frac{dx}{1-x}\Bigr).
Como \int \frac{dx}{1-x} = -\ln(1-x), temos
\mu(x) = \exp\bigl(7\ln(1-x)\bigr) = (1-x)^{7}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=(1-x)^{7}, o lado esquerdo se torna a derivada de \mu\,y:
(1-x)^{7}y' - \frac{7}{1-x}(1-x)^{7}y = \frac{d}{dx}\bigl[(1-x)^{7}y\bigr].
O lado direito fica
(1-x)^{7}\,\frac{x}{(1-x)^{9}} = \frac{x}{(1-x)^{2}}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[(1-x)^{7}y\bigr] = \frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
(1-x)^{7}y = \int \frac{x}{(1-x)^{2}}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int \frac{x}{(1-x)^{2}}\,dx, fazemos u=1-x, dx=-du, x=1-u. Assim
\int \frac{x}{(1-x)^{2}}\,dx = \int \frac{1-u}{u^{2}}(-du) = \int \Bigl(-u^{-2}+u^{-1}\Bigr)du = u^{-1} + \ln|u| + C = \frac{1}{1-x} + \ln(1-x) + C.
Então
(1-x)^{7}y = \frac{1}{1-x} + \ln(1-x) + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = \frac{\displaystyle \frac{1}{1-x} + \ln(1-x) + C}{(1-x)^{7}} = (1-x)^{-8} + (1-x)^{-7}\ln(1-x) + C\,(1-x)^{-7}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0 temos
y(0)=1=(1-0)^{-8} + (1-0)^{-7}\ln(1-0) + C\,(1-0)^{-7} =1 + 0 + C,
logo C=0.

Resposta

\boxed{ y(x) = (1-x)^{-8} + (1-x)^{-7}\,\ln(1-x). }

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