(2,5 pt) Resolve a equação diferencial
\left(x \cos 3 x-2 \frac{y}{x^{3}}\right) d x-\left(\sin 3 y-\frac{1}{x^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x\cos3x - 2\,\tfrac{y}{x^3}\bigr)\,dx \;-\;\bigl(\sin3y - \tfrac{1}{x^2}\bigr)\,dy = 0.
Este é um problema de equação exata: vamos identificar
M(x,y) = x\cos3x - 2\,\frac{y}{x^3}, \quad N(x,y) = -\sin3y + \frac{1}{x^2},
checar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2\,\frac{1}{x^3}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}\Bigl(-\sin3y + x^{-2}\Bigr) = -2\,x^{-3}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que F_x = M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\int\Bigl(x\cos3x - 2\,\frac{y}{x^3}\Bigr)\,dx = \int x\cos3x\,dx \;-\;2y\int x^{-3}\,dx.
Usando integra­ção por partes e a regra de potência, obtemos
\int x\cos3x\,dx = \frac{x}{3}\sin3x + \frac{1}{9}\cos3x, \qquad -2y\int x^{-3}\,dx = \frac{y}{x^2}.
Logo
F(x,y) = \frac{x}{3}\sin3x + \frac{1}{9}\cos3x + \frac{y}{x^2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), impomos F_y = N. Calculamos
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x}{3}\sin3x + \tfrac{1}{9}\cos3x + \tfrac{y}{x^2} + h(y)\Bigr) = \frac{1}{x^2} + h'(y).
Devemos ter
\frac{1}{x^2} + h'(y) = -\sin3y + \frac{1}{x^2} \;\Longrightarrow\; h'(y) = -\sin3y \;\Longrightarrow\; h(y) = \frac{1}{3}\cos3y.

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), a solução implícita geral fica
F(x,y) = \frac{x}{3}\sin3x + \frac{1}{9}\cos3x + \frac{y}{x^2} + \frac{1}{3}\cos3y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\frac{x}{3}\,\sin3x \;+\;\frac{1}{9}\,\cos3x \;+\;\frac{y}{x^2}\;+\;\frac{1}{3}\,\cos3y = C.

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