(2,5 pt) Resolve a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um problema de equação exata: vamos identificar
checar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial
tal que
.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Usando integração por partes e a regra de potência, obtemos
Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, impomos
. Calculamos
Devemos ter
Passo 5
Substituindo
em
, a solução implícita geral fica
com
constante arbitrária.