( 1,5 \mathrm{pt} ) Sobre uma mesa estão dispostos 4 livros de história, 5 de matemática e 3 de física. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos 12 livros distintos ( 4 de história, 5 de matemática e 3 de física) dispostos aleatoriamente. Queremos a probabilidade de que, na sequência de empilhamento, todos os livros de cada assunto fiquem juntos. Vamos usar princípios de contagem (fatorial) e a definição de probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais.

Passo 2

O número total de maneiras de ordenar os 12 livros é dado por
12! .

Passo 3

Para que os livros de cada assunto fiquem juntos, tratamos cada grupo (história, matemática e física) como um bloco.
  1. 3! maneiras de ordenar esses três blocos.
  2. Dentro de cada bloco, os livros podem se permutar: 4! permutações no bloco de história, 5! no de matemática e 3! no de física.
Assim, o número de disposições favoráveis é
3! \times 4! \times 5! \times 3!.

Passo 4

Pela definição de probabilidade,
P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}} = \frac{3!\times4!\times5!\times3!}{12!}.á

Resposta

\frac{3!\times4!\times5!\times3!}{12!}.

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