( 2,0 \mathrm{pts} ) Qual o maior coeficiente de (2 x+3)^{20} ?

Passo 1

O enunciado pede o maior coeficiente numérico na expansão de (2x+3)^{20}.
Aqui o conteúdo é o Teorema de Newton (binomial), que nos diz que
(2x+3)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k}(2x)^k \,3^{20-k} =\sum_{k=0}^{20} \underbrace{\binom{20}{k}2^k3^{20-k}}_{\text{coeficiente de }x^k}\;x^k.
Precisamos encontrar para qual k esse coeficiente \displaystyle a_k=\binom{20}{k}2^k3^{20-k} é máximo.

Passo 2

Escrevemos o termo genérico dos coeficientes como
a_k = \binom{20}{k}2^k3^{20-k},\quad k=0,1,\dots,20.
Para achar onde a_k atinge o valor máximo, comparamos a_{k+1} e a_k.

Passo 3

O quociente entre termos consecutivos é
\frac{a_{k+1}}{a_k} =\frac{\binom{20}{k+1}2^{\,k+1}3^{\,20-(k+1)}}{\binom{20}{k}2^k3^{20-k}} =\frac{20-k}{k+1}\cdot\frac{2}{3}.
Para ter a_{k+1}\ge a_k precisamos de
\frac{20-k}{k+1}\cdot\frac{2}{3}\ge1 \;\Longrightarrow\; 20-k\ge\frac{3}{2}(k+1) \;\Longrightarrow\; k\le\frac{37}{5}=7{,}4.
Logo a_k cresce enquanto k\le7 e começa a decrescer a partir de k\ge8. Portanto o máximo ocorre em k=8.

Passo 4

O maior coeficiente é
a_8=\binom{20}{8}\,2^8\,3^{12}.
Calculamos cada parte:
\binom{20}{8}=125970,\quad2^8=256,\quad3^{12}=531441.

Passo 5

Multiplicando tudo,
a_8 = 125970 \times 256 \times 531441 = 17\,138\,079\,429\,120.

Resposta

O maior coeficiente de (2x+3)^{20} é 17\,138\,079\,429\,120.

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