. (2.0 pts.) Calcule o valor de
S=\sum_{k=1}^{n} k(4 k+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S=\sum_{k=1}^{n}k\,(4k+3).
Este é um somatório de um polinômio em k. Para resolver, vamos usar as fórmulas conhecidas de \sum k e \sum k^2.

Passo 2

Primeiro expandimos o termo geral dentro da soma:
k\,(4k+3)=4k^2+3k.
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S=\sum_{k=1}^{n}(4k^2+3k)=4\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 3

Agora recordamos as fórmulas clássicas para somatórios de primeiros inteiros:
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 4

Substituindo em S obtemos
S=4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos n(n+1) e colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
S=n(n+1)\Bigl(\frac{4(2n+1)}{6}+\frac{3}{2}\Bigr) =n(n+1)\Bigl(\frac{8n+4}{6}+\frac{9}{6}\Bigr) =n(n+1)\,\frac{8n+13}{6}.

Resposta

S=\frac{n(n+1)(8n+13)}{6}.

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