(1,5 pt) Numa caixa com 50 moedas, 8 apresentam duas caras, 20 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é

Passo 1

O enunciado diz que numa caixa há 50 moedas: 8 são duas caras \text{HH}, 20 são cara/coroa \text{HC} e 50-8-20=22 são duas coroas \text{TT}. Escolhemos uma moeda ao acaso e vimos uma face que mostrou coroa. Queremos a probabilidade de que a outra face dessa mesma moeda seja também coroa. O conteúdo aqui é probabilidade condicionada (Teorema de Bayes).

Passo 2

Primeiro, anotamos as probabilidades a priori de escolher cada tipo de moeda e a probabilidade de observar coroa dado o tipo:
P(\text{HH})=\frac{8}{50},\quad P(\text{HC})=\frac{20}{50},\quad P(\text{TT})=\frac{22}{50},
P(\text{coroa}\mid \text{HH})=0,\quad P(\text{coroa}\mid \text{HC})=\tfrac12,\quad P(\text{coroa}\mid \text{TT})=1.

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de observar coroa em uma face:
P(\text{coroa}) = P(\text{HH})\cdot0 + P(\text{HC})\cdot\tfrac12 + P(\text{TT})\cdot1 = \frac{8}{50}\cdot0 + \frac{20}{50}\cdot\frac12 + \frac{22}{50}\cdot1 = \frac{10 + 22}{50} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25}.

Passo 4

Pela fórmula de Bayes, a probabilidade de a moeda ser do tipo \text{TT} dado que vimos coroa é
P(\text{TT}\mid \text{coroa}) = \frac{P(\text{TT})\,P(\text{coroa}\mid \text{TT})}{P(\text{coroa})} = \frac{\frac{22}{50}\cdot1}{\frac{32}{50}} = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}.
Se a moeda é do tipo \text{TT}, a outra face com certeza é coroa, logo essa é a resposta.

Resposta

\displaystyle \tfrac{11}{16}

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