Problema 2 ( 2 pontos): Calcule, caso exista, o seguinte limite
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) \cdot \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{1}{x}\right) .

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)\cdot \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é o produto de duas partes: a primeira é a diferença entre uma razão envolvendo raízes e a constante \dfrac{1}{2\sqrt{2}}; a segunda é \operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • O limite é tomado quando x\to 0.

Passo 2

Vamos simplificar a primeira parte \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} usando o conjugado (truque clássico com raízes). Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x+2}+\sqrt{2} obtemos:
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} = \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} = \frac{x}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}.

Passo 3

Agora subtraímos \dfrac{1}{2\sqrt{2}} dessa expressão para escrever a diferença inteira de forma mais manejável:
\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}.
No numerador note que 2\sqrt{2} - (\sqrt{x+2}+\sqrt{2}) = \sqrt{2}-\sqrt{x+2} = -(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}). Usando novamente \sqrt{x+2}-\sqrt{2}=\dfrac{x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}} (resultado do passo anterior multiplicado por x), temos:
\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} = -\frac{x}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})^2}.

Passo 4

Portanto a expressão inteira do limite pode ser escrita como
\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)\cdot \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{x}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})^2}\cdot \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Para estudar o limite, vamos controlar o valor absoluto. Sabemos que \operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está sempre entre 0 e 1, ou seja
0 \le \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Escolha, por exemplo, |x|<1. Para tais x temos x+2\in(1,3), logo \sqrt{x+2}\ge 1. Assim
(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})^2 \ge (1+\sqrt{2})^2.
Defina a constante positiva
M := 2\sqrt{2}\,(1+\sqrt{2})^2 > 0.
Então para |x|<1 vale
\left|\;-\frac{x}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})^2}\cdot \operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le \frac{|x|}{2\sqrt{2}\,(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})^2} \le \frac{|x|}{M}.

Passo 6

Como \dfrac{|x|}{M}\to 0 quando x\to 0, pelo princípio do confronto (squeeze theorem) concluímos que a expressão original tende a 0 quando x\to 0.

Resposta

0

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