- Problema 1 (2 pontos): Expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos da inequação
Passo 1
O enunciado pede: expressar, em notação de intervalos, o conjunto de soluções da inequação
Informações dadas explicitamente:
- A expressão é uma razão entre um polinómio do segundo grau no numerador e um polinómio do terceiro grau no denominador.
- A desigualdade permite valores onde a razão é positiva ou igual a zero.
- Valores que tornam o denominador igual a zero não pertencem ao conjunto solução (a expressão fica indefinida).
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar numerador e denominador — isso mostra claramente zeros e possíveis mudanças de sinal.
Fatorar o numerador
. Procura-se dois números que multiplicados deem
e somados dêem
. Esses números são
e
. Logo:
Fatorar o denominador
. Usamos a identidade da diferença de cubos
. Tomando
e
:
Observação importante: o polinómio quadrático
tem discriminante
, logo não possui raízes reais e é estritamente positivo para todo
.
Portanto a expressão pode ser escrita como
Passo 3
Identificar os pontos críticos (onde o sinal pode mudar ou a expressão pode ser zero/indefinida):
- Zeros do numerador (onde a fração pode ser zero):
e (pois ou ). - Zeros do denominador (onde a expressão é indefinida):
(pois ). O fator não tem raízes reais, então não gera outros pontos.
Portanto os pontos a considerar na análise de sinais são.
Repare que em pontos onde o numerador é zero e o denominador não é zero, a fração vale
e como a desigualdade é
esses pontos devem ser incluídos no conjunto solução. Em pontos onde o denominador é zero, a expressão não é definida e esses pontos nunca são incluídos.
Passo 4
Montar as regiões determinadas pelos pontos críticos na reta real:
Em cada intervalo o sinal da expressão é constante, porque os fatores são polinomiais de grau 1 (sinais só mudam ao passar por suas raízes).
Como
para todo
, ela não influencia o sinal além de ser sempre positiva. Assim o sinal da expressão é o mesmo do quociente
Logo basta analisar os sinais dos fatores
,
e
em cada intervalo.
Regra útil (para lembrar na prova): se um fator tem multiplicidade ímpar passa o sinal ao atravessar a raiz; se tiver multiplicidade par, o sinal não muda. Aqui todas as raízes têm multiplicidade
(ímpares), então teoricamente o sinal muda ao atravessar cada uma delas — mas como
não tem raiz real, só as três raízes citadas importam.
Passo 5
Testar cada intervalo com um ponto-teste simples e calcular o sinal fator a fator (faço os cálculos de forma explícita para poder reproduzir na prova):
- Intervalo
. Escolher .
-
(negativo). -
(negativo). -
(negativo).
Produto no numerador: negativonegativo positivo.
Dividindo por denominador (negativo) => positivo / negativo = negativo.
Conclusão: na regiãoa expressão é negativa.
-
Ponto
. Aqui o numerador zera e o denominador vale . Então a fração vale . Como a desigualdade é , o ponto pertence à solução. -
Intervalo
. Escolher .
-
(positivo). -
(negativo). -
(negativo).
Numerador: positivonegativo = negativo.
Dividido por denominador (negativo) => negativo / negativo = positivo.
Conclusão: na regiãoa expressão é positiva.
-
Ponto
. O denominador é zero ( ), a expressão é indefinida. Portanto não pode ser incluído na solução. -
Intervalo
. Escolher .
-
(positivo). -
(negativo). -
(positivo).
Numerador: positivonegativo = negativo.
Dividido por denominador (positivo) => negativo / positivo = negativo.
Conclusão: na regiãoa expressão é negativa.
-
Ponto
. O numerador zera e o denominador vale . Logo a fração vale e, pela , deve ser incluído. -
Intervalo
. Escolher .
-
(positivo). -
(positivo). -
(positivo).
Numerador positivo, denominador positivo => fração positiva.
Conclusão: na regiãoa expressão é positiva.
Passo 6
Agora recolhemos as parcelas que satisfazem
:
- Incluímos os intervalos onde a expressão é positiva:
e . - Incluímos também os zeros do numerador onde a expressão vale exatamente
: e . - Não incluímos
porque o denominador anula-se ali (a expressão é indefinida).
Unindo os trechos e os pontos incluídos obtemos o conjunto solução como a união