• Problema 1 (2 pontos): Expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos da inequação
\frac{x^{2}+x-6}{x^{3}-1} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede: expressar, em notação de intervalos, o conjunto de soluções da inequação
\frac{x^{2}+x-6}{x^{3}-1} \geq 0.
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão é uma razão entre um polinómio do segundo grau no numerador e um polinómio do terceiro grau no denominador.
  • A desigualdade permite valores onde a razão é positiva ou igual a zero.
  • Valores que tornam o denominador igual a zero não pertencem ao conjunto solução (a expressão fica indefinida).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar numerador e denominador — isso mostra claramente zeros e possíveis mudanças de sinal.
Fatorar o numerador x^{2}+x-6. Procura-se dois números que multiplicados deem -6 e somados dêem 1. Esses números são 3 e -2. Logo:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Fatorar o denominador x^{3}-1. Usamos a identidade da diferença de cubos \,a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}). Tomando a=x e b=1:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Observação importante: o polinómio quadrático x^{2}+x+1 tem discriminante \Delta=1-4= -3<0, logo não possui raízes reais e é estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto a expressão pode ser escrita como
\frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}.

Passo 3

Identificar os pontos críticos (onde o sinal pode mudar ou a expressão pode ser zero/indefinida):
  • Zeros do numerador (onde a fração pode ser zero): \,x=-3 e \,x=2 (pois x+3=0 ou x-2=0).
  • Zeros do denominador (onde a expressão é indefinida): \,x=1 (pois x-1=0). O fator x^{2}+x+1 não tem raízes reais, então não gera outros pontos.
    Portanto os pontos a considerar na análise de sinais são \,-3,\;1,\;2.
Repare que em pontos onde o numerador é zero e o denominador não é zero, a fração vale 0 e como a desigualdade é \geq 0 esses pontos devem ser incluídos no conjunto solução. Em pontos onde o denominador é zero, a expressão não é definida e esses pontos nunca são incluídos.

Passo 4

Montar as regiões determinadas pelos pontos críticos na reta real:
(-\infty,-3),\quad (-3,1),\quad (1,2),\quad (2,\infty).
Em cada intervalo o sinal da expressão é constante, porque os fatores são polinomiais de grau 1 (sinais só mudam ao passar por suas raízes).
Como x^{2}+x+1>0 para todo x, ela não influencia o sinal além de ser sempre positiva. Assim o sinal da expressão é o mesmo do quociente
\frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)}.
Logo basta analisar os sinais dos fatores (x+3), (x-2) e (x-1) em cada intervalo.
Regra útil (para lembrar na prova): se um fator tem multiplicidade ímpar passa o sinal ao atravessar a raiz; se tiver multiplicidade par, o sinal não muda. Aqui todas as raízes têm multiplicidade 1 (ímpares), então teoricamente o sinal muda ao atravessar cada uma delas — mas como x^{2}+x+1 não tem raiz real, só as três raízes citadas importam.

Passo 5

Testar cada intervalo com um ponto-teste simples e calcular o sinal fator a fator (faço os cálculos de forma explícita para poder reproduzir na prova):
  1. Intervalo (-\infty,-3). Escolher x=-4.
  • x+3 = -4+3 = -1 (negativo).
  • x-2 = -4-2 = -6 (negativo).
  • x-1 = -4-1 = -5 (negativo).
    Produto no numerador: negativo \times negativo = positivo.
    Dividindo por denominador (negativo) => positivo / negativo = negativo.
    Conclusão: na região (-\infty,-3) a expressão é negativa.
  1. Ponto x=-3. Aqui o numerador zera e o denominador vale (-3)^{3}-1=-27-1=-28\neq 0. Então a fração vale 0. Como a desigualdade é \geq 0, o ponto x=-3 pertence à solução.
  2. Intervalo (-3,1). Escolher x=0.
  • x+3 = 3 (positivo).
  • x-2 = -2 (negativo).
  • x-1 = -1 (negativo).
    Numerador: positivo \times negativo = negativo.
    Dividido por denominador (negativo) => negativo / negativo = positivo.
    Conclusão: na região (-3,1) a expressão é positiva.
  1. Ponto x=1. O denominador é zero ( 1^{3}-1=0), a expressão é indefinida. Portanto x=1 não pode ser incluído na solução.
  2. Intervalo (1,2). Escolher x=1{,}5.
  • x+3 = 4{,}5 (positivo).
  • x-2 = -0{,}5 (negativo).
  • x-1 = 0{,}5 (positivo).
    Numerador: positivo \times negativo = negativo.
    Dividido por denominador (positivo) => negativo / positivo = negativo.
    Conclusão: na região (1,2) a expressão é negativa.
  1. Ponto x=2. O numerador zera e o denominador vale 2^{3}-1=8-1=7\neq 0. Logo a fração vale 0 e, pela \geq 0, x=2 deve ser incluído.
  2. Intervalo (2,\infty). Escolher x=3.
  • x+3 = 6 (positivo).
  • x-2 = 1 (positivo).
  • x-1 = 2 (positivo).
    Numerador positivo, denominador positivo => fração positiva.
    Conclusão: na região (2,\infty) a expressão é positiva.

Passo 6

Agora recolhemos as parcelas que satisfazem \dfrac{x^{2}+x-6}{x^{3}-1}\ge 0:
  • Incluímos os intervalos onde a expressão é positiva: (-3,1) e (2,\infty).
  • Incluímos também os zeros do numerador onde a expressão vale exatamente 0: x=-3 e x=2.
  • Não incluímos x=1 porque o denominador anula-se ali (a expressão é indefinida).
Unindo os trechos e os pontos incluídos obtemos o conjunto solução como a união
[-3,\,1)\\ \cup\\ [2,\,\infty).

Resposta

[-3,1)\cup[2,\infty)

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