(2,5 pts) Calcule
onde
e
com
sendo a superfície
com
e
é a porção do plano
restrita a elipse
, com normal exterior.
Solução: Não podemos aplicar o teorema de Gauss para
pois é aberta. Porém podemos aplicar para
, onde
é o plano
restrito a
. Se
é o sólido limitado por
, temos pelo teorema de Gauss que
Assim,
Como
e o vetor normal a
exterior a
é (
), segue que
Logo
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
e
é a superfície formada pelo paraboloide
para
e pelo disco
sobre a elipse
. Vamos usar o Teorema de Gauss para o campo
, fechando
com um plano adicional.
Passo 2
Como
não é fechado, introduzimos
de modo que
fecha o volume
limitado pelo paraboloide de cima até o plano
. A normal em cada ponto de
é a externa a
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Pelo Teorema de Gauss aplicado a
vale
Logo
Passo 5
No plano
(onde
) a normal externa a
é
. Em
temos
então
O domínio de integração é a elipse
, que tem semi-eixos
,
e área
. Logo
Daí