(2,5 pts) Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S onde \vec{F}(x, y, z)=\left(z e^{x}-y, x+\cos (y z), x y\right) e S=S_{1} \cup S_{2} com S_{1} sendo a superfície z=4-2 x^{2}-y^{2} com 0 \leq z \leq 3 e S_{2} é a porção do plano z=3 restrita a elipse 2 x^{2}+y^{2}=1, com normal exterior.
Solução: Não podemos aplicar o teorema de Gauss para S pois é aberta. Porém podemos aplicar para S \cup S^{\prime}, onde S^{\prime} é o plano z=0 restrito a 2 x^{2}+y^{2}=4. Se W é o sólido limitado por S \cup S^{\prime}, temos pelo teorema de Gauss que
\iint_{S \cup S^{\prime}}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S=\iiint_{W} \operatorname{Div}(\vec{F}) d x d y d z=0
Assim,
\iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S=-\iint_{S^{\prime}}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S
Como \operatorname{rot} \vec{F}=\left(x+y \cos (y z), e^{x}-y, 2\right) e o vetor normal a S^{\prime} exterior a W é ( 0,0,-1 ), segue que
\iint_{S^{\prime}}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S=-2 \iint_{2 x^{2}+y^{2} \leq 4} d x d y=-4 \sqrt{2} \pi
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\iint_{S}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S=-\iint_{S^{\prime}}(\operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}) d S=4 \sqrt{2} \pi

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{S}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS
onde \vec{F}(x,y,z)=(z e^{x}-y,\;x+\cos(yz),\;xy) e S=S_{1}\cup S_{2} é a superfície formada pelo paraboloide S_{1}\!:z=4-2x^{2}-y^{2} para 0\le z\le3 e pelo disco S_{2}\!:z=3 sobre a elipse 2x^{2}+y^{2}=1. Vamos usar o Teorema de Gauss para o campo \operatorname{rot}\vec{F}, fechando S com um plano adicional.

Passo 2

Como S não é fechado, introduzimos
S' = \{(x,y,0)\mid 2x^{2}+y^{2}\le4\},
de modo que S\cup S' fecha o volume W limitado pelo paraboloide de cima até o plano z=0. A normal em cada ponto de S\cup S' é a externa a W.

Passo 3

Calculamos a divergência de \operatorname{rot}\vec{F}:
\nabla\cdot(\operatorname{rot}\vec{F}) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+y\cos(yz)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}-y\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(2) =1-1+0=0.

Passo 4

Pelo Teorema de Gauss aplicado a W vale
\iint_{S\cup S'}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS =\iiint_{W}\nabla\cdot(\operatorname{rot}\vec{F})\,dV =0.
Logo
\iint_{S}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS =-\iint_{S'}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS.

Passo 5

No plano S' (onde z=0) a normal externa a W é \vec{n}=(0,0,-1). Em z=0 temos
\operatorname{rot}\vec{F}(x,y,0)=(x+y\cos0,\;e^{x}-y,\;2)=(x+y,\;e^{x}-y,\;2),
então
\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}=2\cdot(-1)=-2.
O domínio de integração é a elipse 2x^{2}+y^{2}\le4, que tem semi-eixos a=\sqrt{2}, b=2 e área \pi ab=2\sqrt{2}\,\pi. Logo
\iint_{S'}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS =-2\cdot\bigl(2\sqrt{2}\,\pi\bigr) =-4\sqrt{2}\,\pi.
Daí
\iint_{S}(\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n})\,dS =-\bigl(-4\sqrt{2}\,\pi\bigr) =4\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

4\sqrt{2}\,\pi

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