(2,5 pts) Calcule \iint_{S} \sqrt{6+3 x^{2}+3 y^{2}-z} d S, onde S é a superfície do parabolóide x^{2}+y^{2}+z=5 que está acima do plano z=2-2 y.
Solução: Fazendo a interseção do parabolóide com o plano encontramos a equação x^{2}+(y-1)^{2}=4. Portanto uma parametrização para S é
\varphi(x, y)=\left(x, y, 5-x^{2}-y^{2}\right), x^{2}+(y-1)^{2} \leq 4
Assim, \|N\|=\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+1}
Logo,
\iint_{S} \sqrt{6+3 x^{2}+3 y^{2}-z} d S=\iint_{x^{2}+(y-1)^{2} \leq 4}\left(\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+1}\right)^{2} d x d y=52 \pi

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}\sqrt{6+3x^{2}+3y^{2}-z}\,dS
onde S é a porção do paraboloide
x^{2}+y^{2}+z=5
que está acima do plano
z=2-2y.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar sobre o gráfico de uma função z=\varphi(x,y). Vamos usar a parametrização como gráfico e a fórmula
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS = \iint_{D}f\bigl(x,y,\varphi(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+\phi_x^2+\phi_y^2}\;dx\,dy.

Passo 2

Para achar a região D no plano xy fazemos a interseção das superfícies:
x^{2}+y^{2}+z=5, \quad z=2-2y \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2}+2-2y=5 \;\Longrightarrow\; x^{2}+(y-1)^{2}=4.
Logo
D=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+(y-1)^{2}\le4\bigr\}.

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico da função
\varphi(x,y)=5-x^{2}-y^{2},
com (x,y)\in D. Calculamos
\phi_x=-2x, \phi_y=-2y e portanto
\sqrt{1+\phi_x^2+\phi_y^2} =\sqrt{1+4x^2+4y^2}.
A função a integrar é
f(x,y,z)=\sqrt{6+3x^{2}+3y^{2}-z}
avaliada em z=\varphi(x,y):
6+3x^{2}+3y^{2}-\varphi(x,y) =6+3x^{2}+3y^{2}-\bigl(5-x^{2}-y^{2}\bigr) =1+4x^{2}+4y^{2}.
Logo
f\bigl(x,y,\varphi(x,y)\bigr) =\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.
Assim o elemento de superfície vezes o integrando vale
\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}} =1+4x^{2}+4y^{2}.

Passo 4

O integral de superfície torna-se
\iint_{D}\bigl(1+4x^{2}+4y^{2}\bigr)\;dx\,dy =\iint_{D}1\,dx\,dy +4\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.

Passo 5

A área de D é \pi R^{2}=\pi\cdot2^{2}=4\pi. Para
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy usamos que
x^{2}+y^{2} = \bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr) +2(y-1)+1.
No disco centrado em (0,1) a média de y-1 é zero, então
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =\iint_{D}r'^{2}\,dA + \iint_{D}1\,dA
onde r'^{2}=x^{2}+(y-1)^{2}. Sabe-se que em um disco de raio 2
\iint r'^{2}\,dA = \tfrac{\pi R^{4}}{2}=\tfrac{\pi\cdot16}{2}=8\pi. Portanto
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =8\pi +4\pi =12\pi.

Passo 6

Voltando ao integral,
\iint_{D}1\,dA =4\pi, \quad 4\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =4\cdot12\pi=48\pi.
Logo
\iint_{D}\bigl(1+4x^{2}+4y^{2}\bigr)\,dA =4\pi+48\pi=52\pi.

Resposta

\displaystyle 52\pi

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