(2,5 pts) Calcule
, onde
é a superfície do parabolóide
que está acima do plano
.
Solução: Fazendo a interseção do parabolóide com o plano encontramos a equação
. Portanto uma parametrização para
é
Assim,
Logo,
Logo,
Passo 1
O enunciado pede
onde
é a porção do paraboloide
que está acima do plano
O conteúdo é integral de superfície de função escalar sobre o gráfico de uma função
. Vamos usar a parametrização como gráfico e a fórmula
Passo 2
Para achar a região
no plano
fazemos a interseção das superfícies:
Logo
Passo 3
Parametrizamos
como gráfico da função
com
. Calculamos
,
e portanto
A função a integrar é
avaliada em
:
Logo
Assim o elemento de superfície vezes o integrando vale
Passo 4
O integral de superfície torna-se
Passo 5
A área de
é
. Para
usamos que
No disco centrado em
a média de
é zero, então
onde
. Sabe-se que em um disco de raio
. Portanto
Passo 6
Voltando ao integral,
Logo