Questão 2: Critério de Mohr-Coulomb
Um solo tem as seguintes características mecânicas: Coesão c=N[\mathrm{kPa}] e ângulo de atrito \varphi=(25+0.5 N)^{\circ}. Verifique se o elemento submetido ao estado de tensão descrito abaixo está em ruptura:
(b) Tensão normal: \sigma_{n}=(50+2 N) \mathrm{kPa} e tensão cisalhante: \tau=(20+N) \mathrm{kPa}.

Passo 1

O enunciado trata do critério de ruptura de Mohr–Coulomb para um elemento de solo, cujas propriedades são:
– Coesão \displaystyle c = N kPa
– Ângulo de atrito interno \displaystyle \varphi = (25 + 0{,}5\,N)^\circ
O elemento está submetido a
– Tensão normal \displaystyle \sigma_n = (50 + 2\,N) kPa
– Tensão de cisalhamento \displaystyle \tau = (20 + N) kPa
Queremos verificar se ocorre ruptura, usando o critério de Mohr–Coulomb.

Passo 2

O critério de Mohr–Coulomb no plano de cisalhamento é dado por
\tau \;\ge\; c \;+\;\sigma_n\,\tan\varphi
ou seja, o elemento falha se a tensão de cisalhamento aplicada for maior ou igual ao valor de resistência c+\sigma_n\tan\varphi.

Passo 3

Substituindo os valores do enunciado, o termo de resistência fica
c + \sigma_n\,\tan\varphi = N + (50 + 2N)\,\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr).
A tensão aplicada é \tau = 20 + N. Portanto, a condição de ruptura torna-se
20 + N \;\ge\; N + (50 + 2N)\,\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr).

Passo 4

Podemos simplificar cancelando N dos dois lados:
20 \;\ge\; (50 + 2N)\,\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr).
Note que para qualquer N\ge0, temos
50 + 2N > 0 \quad\text{e}\quad \tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr) > 0,
logo o produto (50+2N)\tan(\dots) é positivo.

Passo 5

Verifiquemos o valor mínimo possível de (50 + 2N)\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr), que ocorre quando N é mínimo. Se N=0,
(50+0)\,\tan(25^\circ)\approx 50\cdot0{,}466 = 23{,}3 > 20.
Para N>0, tanto 50+2N quanto \tan((25+0{,}5N)^\circ) crescem, e o produto fica ainda maior. Assim, sempre vale
(50+2N)\,\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr) > 20.
Isso significa que a condição de ruptura
20 \;\ge\; (50 + 2N)\,\tan\bigl((25 + 0{,}5\,N)^\circ\bigr)
nunca se satisfaz.

Resposta

O elemento não está em ruptura segundo o critério de Mohr–Coulomb.

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