3^{\mathrm{a}} Questão:

Determine a curvatura e o raio de curvatura da curva plana y(x)=e^{2 x} na origem.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura \kappa e o raio de curvatura R da curva plana definida por
y(x) = e^{2x}
no ponto da origem, isto é, em x=0.
Para isso vamos usar a fórmula da curvatura de uma curva dada por y=y(x):
\kappa(x) = \frac{\bigl|y''(x)\bigr|}{\bigl(1 + \bigl[y'(x)\bigr]^2\bigr)^{3/2}},
e então obter o raio de curvatura como
R(x) = \frac{1}{\kappa(x)}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de y(x).
Como y(x)=e^{2x},
y'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2\,e^{2x},
y''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2\,e^{2x}\bigr) = 4\,e^{2x}.

Passo 3

Avaliamo-las em x=0:
y'(0) = 2\,e^{0} = 2,
y''(0) = 4\,e^{0} = 4.

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula da curvatura:
\kappa(0) = \frac{\bigl|y''(0)\bigr|}{\bigl(1 + [y'(0)]^2\bigr)^{3/2}} = \frac{4}{\bigl(1 + 2^2\bigr)^{3/2}} = \frac{4}{5^{3/2}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{25}.

Passo 5

O raio de curvatura em x=0 é o inverso de \kappa(0):
R(0) = \frac{1}{\kappa(0)} = \frac{5^{3/2}}{4} = \frac{5\sqrt{5}}{4}.

Resposta

A curvatura na origem é
\kappa(0) = \frac{4\sqrt{5}}{25},
e o raio de curvatura é
R(0) = \frac{5\sqrt{5}}{4}.

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