5^{\mathrm{a}} Questão:

Uma partícula se move segundo a equação \mathbf{r}(t)=\langle\cos t, \sin t, t\rangle. Determine:
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto P(1,0,0).
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar em qualquer instante t.
c) O vetor aceleração e a aceleração tangencial em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado dá o movimento de uma partícula por \mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle e pede:
– (a) as equações dos planos normal e osculador em P(1,0,0),
– (b) o vetor velocidade \mathbf{v}(t) e a velocidade escalar \|\mathbf{v}(t)\|,
– (c) o vetor aceleração \mathbf{a}(t) e a aceleração tangencial a_{T}(t).
Para resolver vamos usar derivadas vetoriais, o produto escalar, as definições de planos normal e osculador via vetores de Frenet \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}.

Passo 2

Primeiro achamos o instante t_{0} em que \mathbf{r}(t)=P(1,0,0). Das coordenadas temos
\cos t_{0}=1,\quad \sin t_{0}=0,\quad t_{0}=0,
pois z(t)=t deve dar 0. Logo o ponto P corresponde a t_{0}=0.

Passo 3

Derivando \mathbf{r}(t) obtemos o vetor velocidade
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\;\cos t,\;1\rangle.
A velocidade escalar é a norma de \mathbf{v}(t):
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Derivando de novo, o vetor aceleração é
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\langle -\cos t,\;- \sin t,\;0\rangle.
A aceleração tangencial a_{T}(t) é dada por
a_{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{a}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|}
e como
\mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{a}(t) =(-\sin t)(-\cos t)+(\cos t)(-\sin t)+1\cdot 0=0,
segue a_{T}(t)=0, ou seja, a velocidade escalar é constante.

Passo 5

No ponto t_{0}=0 temos
\mathbf{v}(0)=\langle 0,1,1\rangle, \qquad \mathbf{a}(0)=\langle -1,0,0\rangle.
O versor tangente é
\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{v}(0)}{\|\mathbf{v}(0)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 0,1,1\rangle,
e o versor normal principal é
\mathbf{N}(0)=\frac{\mathbf{a}(0)}{\|\mathbf{a}(0)\|} =\langle -1,0,0\rangle.
O binormal
\mathbf{B}(0)=\mathbf{T}(0)\times \mathbf{N}(0) =\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 0,1,1\rangle\times\langle -1,0,0\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 0,-1,1\rangle.

Passo 6

O plano normal em P é o plano cujo vetor normal é \mathbf{v}(0). Logo, a equação é
\mathbf{v}(0)\cdot\bigl\langle x-1,y-0,z-0\bigr\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad 0\,(x-1)+1\,y+1\,z=0 \quad\Longrightarrow\quad y+z=0.

Passo 7

O plano osculador em P tem vetor normal igual a \mathbf{B}(0). Assim
\mathbf{B}(0)\cdot\bigl\langle x-1,y,z\bigr\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad 0\,(x-1)-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,y+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,z=0 \quad\Longrightarrow\quad -y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=y.

Resposta

(a) Plano normal: y+z=0.
Plano osculador: z=y.
(b) \mathbf{v}(t)=\langle -\sin t,\cos t,1\rangle, \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{2}.
(c) \mathbf{a}(t)=\langle -\cos t,-\sin t,0\rangle, a_{T}(t)=0.

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