Questão:
Uma partícula se move segundo a equação
. Determine:
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto
.
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar em qualquer instante
.
c) O vetor aceleração e a aceleração tangencial em qualquer instante
.
a) A equação dos planos normal e osculador no ponto
b) O vetor velocidade e a velocidade escalar em qualquer instante
c) O vetor aceleração e a aceleração tangencial em qualquer instante
Passo 1
O enunciado dá o movimento de uma partícula por
e pede:
– (a) as equações dos planos normal e osculador em ,
– (b) o vetor velocidade e a velocidade escalar
,
– (c) o vetor aceleração e a aceleração tangencial
.
Para resolver vamos usar derivadas vetoriais, o produto escalar, as definições de planos normal e osculador via vetores de Frenet .
– (a) as equações dos planos normal e osculador em
– (b) o vetor velocidade
– (c) o vetor aceleração
Para resolver vamos usar derivadas vetoriais, o produto escalar, as definições de planos normal e osculador via vetores de Frenet
Passo 2
Primeiro achamos o instante
em que
. Das coordenadas temos
pois
deve dar
. Logo o ponto
corresponde a
.
Passo 3
Derivando
obtemos o vetor velocidade
A velocidade escalar é a norma de
:
Passo 4
Derivando de novo, o vetor aceleração é
A aceleração tangencial
é dada por
e como
segue
, ou seja, a velocidade escalar é constante.
Passo 5
No ponto
temos
O versor tangente é
e o versor normal principal é
O binormal
Passo 6
O plano normal em
é o plano cujo vetor normal é
. Logo, a equação é
Passo 7
O plano osculador em
tem vetor normal igual a
. Assim
Resposta
(a) Plano normal:
.
Plano osculador: .
(b) ,
.
(c) ,
.
Plano osculador:
(b)
(c)