4{ }^{\mathrm{a}} Questão:

Encontre a equação de uma parábola no plano x y que tenha curvatura 3 na origem.

Passo 1

O enunciado pede que a parábola tenha curvatura igual a 3 no ponto (0,0). Vamos supor a forma canônica de uma parábola com vértice na origem e eixo vertical, ou seja
y = a\,x^{2}.

Passo 2

Para curvas dadas por y = f(x), a curvatura \kappa num ponto é dada por
\kappa(x) \;=\;\frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1 + [f'(x)]^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

No nosso caso f(x)=a\,x^{2}. Calculamos
f'(x)=2a\,x, \qquad f''(x)=2a.

Passo 4

Na origem x=0 temos f'(0)=0 e f''(0)=2a. Logo
\kappa(0) =\frac{\bigl|2a\bigr|}{\bigl(1+0^{2}\bigr)^{3/2}} =|2a|.

Passo 5

Impondo \kappa(0)=3 obtemos
|2a| = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = \pm \frac{3}{2}.

Passo 6

Portanto, duas parábolas satisfazem a condição. Por exemplo, escolhendo a concavidade para cima,
y = \frac{3}{2}\,x^{2}.

Resposta

y = \frac{3}{2}\,x^{2}.

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