(3^{n}) QUESTÃO - Seja o seguinte problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de 1^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime}-y=e^{t}, \quad y(0)=5
Faça o que se pede:
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Determine a solução do P.V.I.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes
y' - y = e^{t},\quad y(0)=5.
O conteúdo aqui é resolução de equações lineares de 1ª ordem por método de coeficientes constantes e análise de soluções constantes.

Passo 2

Para testar se existe solução constante, suponha y(t)=C para todo t. Então y'=0 e a equação vira
0 - C = e^{t}.
Mas o lado direito depende de t e o esquerdo é constante, impossível para todo t. Logo não há soluções constantes.

Passo 3

Agora vamos resolver o P.V.I. começando pela homogênea associada
y' - y = 0.
Essa equação tem solução geral
y_{h}(t)=K\,e^{t},
onde K é constante arbitrária.

Passo 4

Precisamos de uma solução particular de
y' - y = e^{t}.
Como e^{t} é solução da homogênea, usamos o palpite
y_{p}(t)=A\,t\,e^{t}.
Calculando
y_{p}'(t)=A\,e^{t}+A\,t\,e^{t},
substituindo em y'-y
\bigl(A\,e^{t}+A\,t\,e^{t}\bigr)-A\,t\,e^{t}=A\,e^{t}\overset{!}{=}e^{t},
logo A=1. Assim
y_{p}(t)=t\,e^{t}.

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=K\,e^{t}+t\,e^{t}=e^{t}\bigl(K+t\bigr).
Impondo y(0)=5 obtemos
y(0)=e^{0}(K+0)=K=5.
Portanto
y(t)=e^{t}\bigl(5+t\bigr).

Resposta

a) Não existem soluções constantes.
b) A solução do P.V.I. é \;y(t)=e^{t}(5+t).

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