QUESTÃO - Seja o seguinte problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de
ordem com coeficientes constantes:
Faça o que se pede:
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Determine a solução do P.V.I.
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Determine a solução do P.V.I.
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é resolução de equações lineares de 1ª ordem por método de coeficientes constantes e análise de soluções constantes.
Passo 2
Para testar se existe solução constante, suponha
para todo
. Então
e a equação vira
Mas o lado direito depende de
e o esquerdo é constante, impossível para todo
. Logo não há soluções constantes.
Passo 3
Agora vamos resolver o P.V.I. começando pela homogênea associada
Essa equação tem solução geral
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Precisamos de uma solução particular de
Como
é solução da homogênea, usamos o palpite
Calculando
substituindo em
dá
logo
. Assim
Passo 5
A solução geral da não homogênea é
Impondo
obtemos
Portanto
Resposta
a) Não existem soluções constantes.
b) A solução do P.V.I. é .
b) A solução do P.V.I. é