(2^{a}) QUESTÃO - Seja a equação diferencial abaixo expressa em termos de diferenciais puras. Faça o que se pede:
\left(x y^{2}+2\right) d x+3 x^{2} y d y=0, \quad x>0
a) Mostre que ela é inexata;
b) Determine, para ela, um fator integrante;
c) Resolva a E.D.O.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x\,y^{2}+2\bigr)\,dx + 3\,x^{2}\,y\,dy = 0,\quad x>0
e pede:
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a E.D.O.
O conteúdo envolvido é teste de exatidão, busca de fator integrante em função de x ou y e integração para obter a primitiva.

Passo 2

Para verificar exatidão, identifiquemos
M(x,y) = x\,y^{2}+2 \qquad\text{e}\qquad N(x,y) = 3\,x^{2}\,y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2\,x\,y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 6\,x\,y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação é inexata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu função só de x. Usamos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{2xy - 6xy}{3x^{2}y} = -\frac{4}{3x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{3x}\,dx\Bigr) = x^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{-4/3}, obtemos
M^{*} = x^{-\tfrac{4}{3}}\,(x\,y^{2}+2) = x^{-\tfrac{1}{3}}\,y^{2} + 2\,x^{-\tfrac{4}{3}},
N^{*} = x^{-\tfrac{4}{3}}\cdot 3x^{2}y = 3\,x^{\tfrac{2}{3}}\,y.
Verificamos agora
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} = 2\,x^{-\tfrac{1}{3}}\,y, \qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} = 3\cdot \tfrac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}}\,y =2\,x^{-\tfrac{1}{3}}\,y,
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Buscamos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M^{*} = x^{-\tfrac{1}{3}}\,y^{2} + 2\,x^{-\tfrac{4}{3}}.
Integramos em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(x^{-\tfrac{1}{3}}\,y^{2} + 2\,x^{-\tfrac{4}{3}}\bigr)\,dx = y^{2}\,\frac{x^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} +2\,\frac{x^{-\tfrac{1}{3}}}{-\tfrac{1}{3}} + h(y)
\Psi(x,y) = \frac{3}{2}\,x^{\tfrac{2}{3}}\,y^{2} -6\,x^{-\tfrac{1}{3}} + h(y).
Derivando em y e igualando a N^{*}:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 3\,x^{\tfrac{2}{3}}\,y + h'(y) \stackrel!= 3\,x^{\tfrac{2}{3}}\,y \;\Longrightarrow\;h'(y)=0.
Assim h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita vem de \Psi(x,y)=\text{constante}. Podemos escrever
\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{2}{3}}\,y^{2} -6\,x^{-\tfrac{1}{3}} = C.
Multiplicando por 2/3 e reescrevendo, obtemos a forma mais simples
x^{\tfrac{2}{3}}\,y^{2} -4\,x^{-\tfrac{1}{3}} = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

a) A equação não é exata porque \partial M/\partial y=2xy\neq6xy=\partial N/\partial x.
b) Um fator integrante é \displaystyle \mu(x)=x^{-\tfrac{4}{3}}.
c) A solução geral é dada implicitamente por
\boxed{x^{\tfrac{2}{3}}\,y^{2} - 4\,x^{-\tfrac{1}{3}} = K.}

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