QUESTÃO - Seja a equação diferencial abaixo expressa em termos de diferenciais puras. Faça o que se pede:
a) Mostre que ela é inexata;
b) Determine, para ela, um fator integrante;
c) Resolva a E.D.O.
b) Determine, para ela, um fator integrante;
c) Resolva a E.D.O.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a E.D.O.
O conteúdo envolvido é teste de exatidão, busca de fator integrante em função de ou
e integração para obter a primitiva.
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a E.D.O.
O conteúdo envolvido é teste de exatidão, busca de fator integrante em função de
Passo 2
Para verificar exatidão, identifiquemos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é inexata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
função só de
. Usamos
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Verificamos agora
logo a nova equação é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integramos em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Assim
é constante.
Passo 6
A solução implícita vem de
. Podemos escrever
Multiplicando por
e reescrevendo, obtemos a forma mais simples
onde
é constante arbitrária.
Resposta
a) A equação não é exata porque
.
b) Um fator integrante é .
c) A solução geral é dada implicitamente por
b) Um fator integrante é
c) A solução geral é dada implicitamente por