4^{\mathrm{a}} Questão (3,5):

Duas fendas parelelas são iluminadas por uma luz que incide normalmente com um comprimento de onda \lambda
e produzem uma figura de interferência. As fendas têm largura a e distância d, de modo que d=5 a. (a) Inicialmente considere somente os efeitos de interferência devidos à largura da fenda. Em termos de d e \lambda escreva os ângulos formados com o máximo central em que ocorrerão os próximos cinco máximos na figura de interferência de fenda dupla. (b) Agora incluiremos os efeitos de difração. Se a intensidade em \theta=0 é I_{0}, qual é a intensidade em cada um dos ângulos no item (a); e (c) quais máximos de interferência de fenda dupla estão ausentes na figura?

Passo 1

Resumo do enunciado e fórmulas principais
Temos duas fendas de largura a separadas por d=5a, iluminadas normalmente por luz de comprimento de onda \lambda.
(a) Ignorando o envelope de difração, os máximos de interferência dupla satisfazem
d\sin\theta_m = m\,\lambda,\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots
(b) Incluindo agora o efeito de difração de cada fenda, a intensidade angular é
I(\theta)=I_{0}\,\biggl(\frac{\sin\beta}{\beta}\biggr)^{2}\cos^{2}\!\delta
com
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}, \quad \delta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.
(c) Procuramos os valores de m para que o máximo de interferência coincida com zero de difração.

Passo 2

Ângulos dos cinco próximos máximos (ignorar difração)
Da condição
d\sin\theta_m = m\,\lambda
vemos que, para m=1,2,3,4,5,
\theta_m = \arcsin\!\bigl(\tfrac{m\lambda}{d}\bigr) \quad(m=1,\dots,5).

Passo 3

Intensidade em cada \theta_m com difração
Em \theta=\theta_m temos \delta = m\pi de modo que \cos^2\!\delta=1.
O parâmetro \beta em \theta_m vale
\beta_m =\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta_m =\frac{\pi a}{\lambda}\,\frac{m\lambda}{d} =\frac{\pi m}{5}
pois d=5a.
Logo
I(\theta_m) =I_{0}\,\biggl(\frac{\sin\beta_m}{\beta_m}\biggr)^{2} =I_{0}\,\biggl(\frac{\sin(\tfrac{\pi m}{5})}{\tfrac{\pi m}{5}}\biggr)^{2}.

Passo 4

Valores explícitos de I(\theta_m)
Para m=1,\dots,5:
I(\theta_m) =I_{0}\,\biggl[\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi m}{5}\bigr)}{\tfrac{\pi m}{5}}\biggr]^{2}.
Em particular, para m=5 tem-se \sin(\pi)=0, logo I(\theta_{5})=0.

Passo 5

Quais máximos de interferência estão ausentes?
Os máximos se anulam sempre que \sin(\tfrac{\pi m}{5})=0, isto é
\frac{\pi m}{5}=k\pi \;\Longrightarrow\; m=5k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto faltam os máximos de interferência de ordem m=\pm5,\pm10,\dots.

Resposta

(a) \displaystyle \theta_m=\arcsin\bigl(\tfrac{m\lambda}{d}\bigr) para m=1,2,3,4,5.
(b) \displaystyle I(\theta_m)=I_{0}\bigl[\sin(\tfrac{\pi m}{5})/(\tfrac{\pi m}{5})\bigr]^{2}.
(c) Faltam os máximos para m=5,10,15,\dots (e sinais contrários), isto é, ordens múltiplas de 5.

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