1^{\text {a }} Questão (3,0) :

A componente elétrica de uma onda luminosa polarizada é dada por E_{z}=(5 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \sin \left[\left(1,00 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{-1}\right) y+\omega t\right]. (a) Escreva as expressões para o vertor campo elétrico \vec{E} e para o vetor campo megnético \vec{B}, incluindo o valor de \omega. (b) Determine o comprimento de onda e o período. (c) Determine o vetor de Poynting e use-o para determinar a intensidade da onda.

Passo 1

O enunciado dá a componente elétrica de uma onda eletromagnética polarizada em função de y e t:
E_{z}=(5\text{ V/m})\sin\bigl[(1,00\times10^{6}\text{ m}^{-1})\,y+\omega\,t\bigr].
O conteúdo é onda eletromagnética no vácuo. Precisamos:
(a) escrever \vec{E} e \vec{B} e achar \omega;
(b) calcular comprimento de onda \lambda e período T;
(c) obter vetor de Poynting \vec{S} e intensidade I.
Usaremos as relações \omega = c\,k, \lambda = 2\pi/k, T = 2\pi/\omega, \vec{B} = \tfrac1c\,\hat k\times\vec{E}, \vec{S} = \tfrac1{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}, I = \langle|\vec{S}|\rangle.

Passo 2

O número de onda é k=1,00\times10^{6}\,\text{m}^{-1} e a velocidade da luz é c=3,00\times10^{8}\,\text{m/s}.
Logo
\omega = c\,k = (3,00\times10^{8})(1,00\times10^{6}) = 3,00\times10^{14}\,\text{s}^{-1}.

Passo 3

Como E_{z} é a componente em z, temos
\vec{E}(y,t) = (5\text{ V/m})\sin\bigl[(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t\bigr]\;\hat z.
O argumento k\,y+\omega\,t com sinal positivo indica propagação no sentido -y. Logo \hat k=-\hat y. Em vácuo
\vec{B} = \tfrac1c\,\hat k\times\vec{E} \quad\Rightarrow\quad (-\hat y)\times\hat z = -(\hat y\times\hat z) = -\hat x,
então
\vec{B}(y,t) = -\frac{5}{c}\,\sin\bigl[(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t\bigr]\;\hat x \quad\bigl[\text{T}\bigr].

Passo 4

O comprimento de onda e o período são
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1,00\times10^{6}} \approx 6,28\times10^{-6}\text{ m},
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3,00\times10^{14}} \approx 2,09\times10^{-14}\text{ s}.

Passo 5

O vetor de Poynting é
\vec{S} = \frac{1}{\mu_{0}}\;\vec{E}\times\vec{B} = -\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\sin^{2}\!\varphi\;\hat y,
onde E_{0}=5\text{ V/m} e \varphi=(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t.
A intensidade é a média temporal de |\vec{S}|:
I = \bigl\langle|\vec{S}|\bigr\rangle = \frac{E_{0}^{2}}{2\,\mu_{0}\,c} = \frac{25}{2\,\mu_{0}\,c} \approx 3,31\times10^{-2}\,\text{W/m}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(y,t) = (5\text{ V/m})\sin\bigl[(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t\bigr]\hat z, \displaystyle \vec{B}(y,t) = -\frac{5}{3,00\times10^{8}}\sin\bigl[(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t\bigr]\hat x.
(b) \displaystyle \lambda = 6,28\times10^{-6}\text{ m},\quad T = 2,09\times10^{-14}\text{ s}.
(c) \displaystyle \vec{S} = -\frac{25}{\mu_{0}\,c}\sin^{2}\bigl[(1,00\times10^{6})y+(3,00\times10^{14})t\bigr]\hat y,\quad I = 3,31\times10^{-2}\text{ W/m}^{2}.

Exercícios relacionados