Questão 3 (3 pts): Uma casca esférica isolante, de raio interno a=2,8 \mathrm{~cm} e raio externo b=5,6 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição radial de carga não uniforme dada por \rho(r)=14,1 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{3}\left(1-\frac{r}{b}\right), onde r representa a distância ao centro da esfera. Determine:
(a) A carga total da casca esférica.
(b) O módulo do campo elétrico em um ponto localizado a uma distância 2 b do centro da esfera.
(c) A carga total envolvida por uma superfície gaussiana concêntrica com a casca e de raio \frac{a+b}{2}.
(d) O módulo do campo elétrico a uma distância \frac{a+b}{2} do centro da esfera.
(e) Represente graficamente o módulo do campo elétrico em função da distância ao centro da casca, no intervalo de r=0 até r=3 b.
(f) Represente graficamente a densidade de carga \rho(r) em função de r, no intervalo de a \leq r \leq b.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica isolante com raio interno a=2{,}8\text{ cm}=0{,}028\text{ m} e raio externo b=5{,}6\text{ cm}=0{,}056\text{ m}, cuja densidade volumétrica de carga varia radialmente segundo
\rho(r)=\rho_0\Bigl(1-\frac{r}{b}\Bigr),
com \rho_0=14{,}1\text{ pC/m}^3=14{,}1\times10^{-12}\text{ C/m}^3.
Precisamos calcular:
(a) a carga total Q da casca;
(b) o campo em r=2b;
(c) a carga contida dentro de uma gaussiana de raio r_g=(a+b)/2;
(d) o campo em r=r_g;
(e) o gráfico de \lvert E(r)\rvert de 0 a 3b;
(f) o gráfico de \rho(r) de a a b.
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, nos pontos simétricos, a lei de Gauss.

Passo 2

Para a carga total integramos
Q=\int_{r=a}^{r=b}\rho(r)\,4\pi r^2\,dr =4\pi\rho_0\int_{a}^{b}\Bigl(r^2-\frac{r^3}{b}\Bigr)dr.
Calculando o integral, obtemos
Q =4\pi\rho_0\Bigl[\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4b}\Bigr]_{a}^{b} =4\pi\rho_0\Bigl(\frac{b^3}{12}-\frac{a^3}{3}+\frac{a^4}{4b}\Bigr) \approx1{,}78\times10^{-15}\text{ C}.

Passo 3

Para r=2b todo Q está contido dentro da gaussiana, então
E(2b) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{(2b)^2} =9{,}0\times10^9\frac{1{,}78\times10^{-15}}{(0{,}112)^2} \approx1{,}28\times10^{-3}\text{ N/C}.

Passo 4

Seja r_g=(a+b)/2=0{,}042\text{ m}. A carga até r_g é
Q_{\rm enc}(r_g) =4\pi\rho_0\Bigl[\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4b}\Bigr]_{a}^{r_g} \approx1{,}10\times10^{-15}\text{ C}.

Passo 5

O campo em r=r_g é dado por
E(r_g) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\rm enc}(r_g)}{r_g^2} =9{,}0\times10^9\frac{1{,}10\times10^{-15}}{(0{,}042)^2} \approx5{,}63\times10^{-3}\text{ N/C}.

Passo 6

O gráfico de \lvert E(r)\rvert versus r (de 0 a 3b) é piecewise:
– Para 0\le r<a: E=0.
– Para a\le r\le b:
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{r^2} \int_{a}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^2\,dr',
cresce a partir de zero em r=a, atinge um máximo em \!a<r<b e cai até o valor em r=b.
– Para r\ge b: decai como E(r)\propto1/r^2 com Q_{\rm total}.
(O eixo horizontal é r, o vertical é \lvert E\rvert; marcam-se r=a, r=(a+b)/2, r=b, r=2b.)

Passo 7

O gráfico de \rho(r) para a\le r\le b é uma reta decrescente de \rho(a)=\rho_0(1-a/b)=7{,}05\times10^{-12}\text{ C/m}^3 até \rho(b)=0.
Fora desse intervalo, \rho(r)=0.

Resposta

(a) Q=1{,}78\times10^{-15}\text{ C}.
(b) E(2b)=1{,}28\times10^{-3}\text{ N/C}.
(c) Q_{\rm enc}\bigl(r_g\bigr)=1{,}10\times10^{-15}\text{ C}.
(d) E\bigl(r_g\bigr)=5{,}63\times10^{-3}\text{ N/C}.
(e) \lvert E(r)\rvert é zero em r<a, depois cresce e decresce em a\le r\le b, e para r>b segue 1/r^2.
(f) \rho(r) é linear de 7{,}05\times10^{-12} em r=a até 0 em r=b.

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