Questão 3 (3 pts): Uma casca esférica isolante, de raio interno
e raio externo
, possui uma distribuição radial de carga não uniforme dada por
, onde
representa a distância ao centro da esfera. Determine:
(a) A carga total da casca esférica.
(b) O módulo do campo elétrico em um ponto localizado a uma distância
do centro da esfera.
(c) A carga total envolvida por uma superfície gaussiana concêntrica com a casca e de raio
.
(d) O módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera.
(e) Represente graficamente o módulo do campo elétrico em função da distância ao centro da casca, no intervalo de
até
.
(f) Represente graficamente a densidade de carga
em função de
, no intervalo de
.
(a) A carga total da casca esférica.
(b) O módulo do campo elétrico em um ponto localizado a uma distância
(c) A carga total envolvida por uma superfície gaussiana concêntrica com a casca e de raio
(d) O módulo do campo elétrico a uma distância
(e) Represente graficamente o módulo do campo elétrico em função da distância ao centro da casca, no intervalo de
(f) Represente graficamente a densidade de carga
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica isolante com raio interno
e raio externo
, cuja densidade volumétrica de carga varia radialmente segundo
com
.
Precisamos calcular:
(a) a carga total da casca;
(b) o campo em ;
(c) a carga contida dentro de uma gaussiana de raio ;
(d) o campo em ;
(e) o gráfico de de
a
;
(f) o gráfico de de
a
.
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, nos pontos simétricos, a lei de Gauss.
Precisamos calcular:
(a) a carga total
(b) o campo em
(c) a carga contida dentro de uma gaussiana de raio
(d) o campo em
(e) o gráfico de
(f) o gráfico de
Usaremos integração em coordenadas esféricas e, nos pontos simétricos, a lei de Gauss.
Passo 2
Para a carga total integramos
Calculando o integral, obtemos
Passo 3
Para
todo
está contido dentro da gaussiana, então
Passo 4
Seja
. A carga até
é
Passo 5
O campo em
é dado por
Passo 6
O gráfico de
versus
(de
a
) é piecewise:
– Para :
.
– Para :
– Para
– Para
cresce a partir de zero em
, atinge um máximo em
e cai até o valor em
.
– Para : decai como
com
.
– Para
(O eixo horizontal é
, o vertical é
; marcam-se
,
,
,
.)
Passo 7
O gráfico de
para
é uma reta decrescente de
até
.
Fora desse intervalo, .
Fora desse intervalo,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) é zero em
, depois cresce e decresce em
, e para
segue
.
(f) é linear de
em
até
em
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)