3^{\mathrm{a}} Questão: Encontre as derivadas das seguintes funções:
y=\frac{(x+3)^{7}}{\sqrt{x+1}(2-x)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{(x+3)^{7}}{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}}.
O conteúdo principal aqui é derivação de funções compostas e quocientes. Para simplificar a tarefa, vamos usar diferenciação logarítmica, que transforma produtos e quocientes em somas e subtrações de logaritmos.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para obter uma expressão mais manejável:
\ln y = \ln\bigl((x+3)^{7}\bigr) - \ln\bigl((x+1)^{1/2}\bigr) - \ln\bigl((2-x)^{5}\bigr).
Aplicando as propriedades de logaritmo, isto vira
\ln y = 7\,\ln(x+3) \;-\;\tfrac12\,\ln(x+1)\;-\;5\,\ln(2-x).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Lembre-se de que \frac{d}{dx}\,\ln y = \frac{y'}{y} e que \frac{d}{dx}\ln(u)=u'/u. Temos:
\frac{y'}{y} = 7\;\frac{1}{x+3} \;-\;\tfrac12\;\frac{1}{x+1} \;-\;5\;\frac{d}{dx}\bigl[\ln(2-x)\bigr].
Como \frac{d}{dx}\ln(2-x)=\frac{-1}{2-x}, segue
\frac{y'}{y} = \frac{7}{x+3} - \frac{1}{2(x+1)} -5\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2-x}\bigr) = \frac{7}{x+3} - \frac{1}{2(x+1)} + \frac{5}{2-x}.

Passo 4

Isolando y', vem
y' = y \;\Bigl(\frac{7}{x+3} - \frac{1}{2(x+1)} + \frac{5}{2-x}\Bigr).

Passo 5

Substituímos y pela expressão original e deixamos o resultado em forma fatorada:
y' = \frac{(x+3)^{7}}{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}} \;\Bigl(\frac{7}{x+3} - \frac{1}{2(x+1)} + \frac{5}{2-x}\Bigr).
Esta é uma forma prática porque mantém o fator comum \frac{(x+3)^{7}}{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}} e mostra claramente o acréscimo de cada termo.

Resposta

y' = \frac{(x+3)^{7}}{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}} \;\Bigl(\frac{7}{x+3} - \frac{1}{2(x+1)} + \frac{5}{2-x}\Bigr).

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