5 { }^{\text {a }} Questão: Encontre a solução do seguinte sistema de equações homogêneas
\left\{\begin{aligned} 2 x+y+3 z & =0 \\\ x+5 z & =0 \\\\ +y+z & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} 2x + y + 3z = 0,\\\ x + 5z = 0,\\\ y + z = 0. \end{cases}
O objetivo é achar todas as soluções ((x,y,z)]. Para isso, vamos usar o método de substituição, isolando uma variável em cada equação para depois substituir nas demais.

Passo 2

Da terceira equação
y + z = 0
isolamos y:
y = -z.

Passo 3

Da segunda equação
x + 5z = 0
isolamos x:
x = -5z.

Passo 4

Substituímos x = -5z e y = -z na primeira equação
2x + y + 3z = 0
ficando
2(-5z) + (-z) + 3z = -10z - z + 3z = -8z = 0.
Daí vem
z = 0.
E, como x = -5z e y = -z, segue que
x = 0,\quad y = 0.

Resposta

A única solução do sistema é
(x,y,z) = (0,0,0).

Exercícios relacionados