4^{\mathrm{a}} Questão: Seja p=(10-3 x)^{2} o preço no qual x unidades de um certo bem serão vendidas, e seja R(x)=x p(x) a receita obtida da venda dessas unidades. Encontre a receita marginal e o número de unidades no qual a receita é máxima.

Passo 1

O enunciado dá o preço por unidade como
p(x) = (10 - 3x)^{2}
e define a receita total como
R(x) = x\,p(x) = x\,(10 - 3x)^{2}.
Queremos encontrar a receita marginal, isto é, R'(x), e achar o valor de x que maximiza R(x). Para isso vamos usar a regra do produto para derivar e depois analisar os pontos críticos.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em
R(x) = x\,(10 - 3x)^{2},
temos
R'(x) = 1\cdot(10 - 3x)^{2} + x\cdot 2\,(10 - 3x)\,(-3).
Logo,
R'(x) = (10 - 3x)^{2} - 6x\,(10 - 3x).
Para simplificar, fatoramos:
R'(x) = (10 - 3x)\bigl[(10 - 3x) - 6x\bigr] = (10 - 3x)\,(10 - 9x).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
R'(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (10 - 3x)\,(10 - 9x) = 0
que dá
x = \frac{10}{3} \quad\text{ou}\quad x = \frac{10}{9}.
O domínio fisicamente viável é x\ge0 e preço não-negativo, ou seja, 10-3x\ge0\implies x\le10/3. Assim, x=10/3 é ponto de fronteira (lá R=0) e x=10/9 fica no interior.

Passo 4

Analisando o sinal de R'(x):
  • Para 0<x<10/9, ambos 10-3x>0 e 10-9x>0, logo R'(x)>0 (receita crescendo).
  • Para 10/9<x<10/3, tem 10-3x>0 mas 10-9x<0, então R'(x)<0 (receita decrescendo).
    Portanto, em x=10/9 ocorre a troca de crescimento para decrescimento, indicando máximo de R(x).

Resposta

A receita marginal é
R'(x) = (10 - 3x)\,(10 - 9x).
A receita é máxima quando
x = \frac{10}{9}
unidades.

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