Questão: Seja
o preço no qual x unidades de um certo bem serão vendidas, e seja
a receita obtida da venda dessas unidades. Encontre a receita marginal e o número de unidades no qual a receita é máxima.
Passo 1
O enunciado dá o preço por unidade como
e define a receita total como
Queremos encontrar a receita marginal, isto é,
, e achar o valor de
que maximiza
. Para isso vamos usar a regra do produto para derivar e depois analisar os pontos críticos.
Passo 2
Aplicando a regra do produto em
temos
Logo,
Para simplificar, fatoramos:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
que dá
O domínio fisicamente viável é
e preço não-negativo, ou seja,
. Assim,
é ponto de fronteira (lá
) e
fica no interior.
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Para
, ambos e , logo (receita crescendo). - Para
, tem mas , então (receita decrescendo).
Portanto, emocorre a troca de crescimento para decrescimento, indicando máximo de .
Resposta
A receita marginal é
A receita é máxima quando
unidades.