3^{\mathrm{a}} Questão: Uma luz monocromática coerente, com comprimento de onda \lambda, passa por uma fenda estreita com largura a_{1} e uma figura de difração é observada em uma tela que está a uma distância x da fenda. Na tela, a largura do máximo da difração central é igual ao dobro de x. Qual é a razão a / \lambda entre a largura da fenda e o comprimento de onda da luz?

Passo 1

O enunciado diz que uma luz monocromática de comprimento de onda \lambda atravessa uma fenda de largura a e forma na tela, a uma distância x, um máximo central cuja largura é 2x. Vamos usar a teoria de difração por fenda simples, em que a posição dos mínimos é dada por condições de interferência destrutiva, e relações geométricas entre ângulo e deslocamento na tela.

Passo 2

Na difração por fenda simples, os mínimos de intensidade ocorrem para os ângulos \theta que satisfazem
a \sin\theta = m\,\lambda,
sendo m=\pm1,\pm2,\dots. Para o primeiro mínimo lateral tomamos m=1, logo
a \sin\theta = \lambda.

Passo 3

O deslocamento y do primeiro mínimo em relação ao centro da distribuição na tela, a uma distância x, é dado por
y = x \,\tan\theta.
Assim, a largura total do máximo central, entre os dois primeiros mínimos ( m=-1 e m=+1), é
W = 2\,y = 2\,x\,\tan\theta.

Passo 4

O enunciado afirma que essa largura é W=2x. Então
2\,x\,\tan\theta = 2x
e, dividindo por 2x, vem
\tan\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Voltando à condição do mínimo,
a \sin\theta = \lambda \quad\Longrightarrow\quad \frac{\lambda}{a} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{\lambda} = \sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{\lambda} = \sqrt{2}.

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