3{ }^{\mathrm{a}} Questāo (2,0 pts): Dado o campo escalar
\varphi(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2},
calcule a integral de linha
J=\int_{(0,3,4)}^{(0,0,2)} \nabla \varphi \cdot d \mathbf{r}

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{3}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}
e pede a integral de linha
J=\int_{(0,3,4)}^{(0,0,2)}\nabla\varphi\cdot d\mathbf r.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha em campos conservativos.

Passo 2

Como \nabla\varphi é o gradiente de \varphi, o campo é conservativo e a integral independe do caminho. Pelo Teorema Fundamental temos
J=\varphi\bigl(0,0,2\bigr)\;-\;\varphi\bigl(0,3,4\bigr).

Passo 3

Calculamos as distâncias aos pontos para avaliar \varphi:
r_A=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5, \quad r_B=\sqrt{0^2+0^2+2^2}=2.
Logo
\varphi(0,3,4)=\tfrac{1}{3}\,5^3=\tfrac{125}{3}, \quad \varphi(0,0,2)=\tfrac{1}{3}\,2^3=\tfrac{8}{3}.

Passo 4

Substituindo em J:
J=\tfrac{8}{3}-\tfrac{125}{3}=-\tfrac{117}{3}=-39.

Resposta

-39

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