4{ }^{\text {a }} Questão ( 2,5 pontos): Determine a solução do PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=x e^{x}+\cos (x) \\ y(0)=1 \\ y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4y = x e^x + \cos(x),\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=1. \end{cases}
Isso envolve resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a soma da solução homogênea y_c e de uma particular y_p, e depois ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Determinar a solução homogênea y_c. A equação associada é
r^2 + 4 = 0
cuja raízes são r=\pm 2i. Logo
y_c(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

Propor uma solução particular y_{p1} para o termo x e^x. Como e^x não é raiz da característica, tentamos
y_{p1}(x) = (A x + B)e^x.
Calculamos derivadas:
y_{p1}' = (A x + B + A)e^x,\quad y_{p1}'' = (A x + B + 2A)e^x.
Substituindo em y''+4y:
y_{p1}'' + 4y_{p1} = \bigl(A x + B + 2A +4(A x + B)\bigr)e^x = (5A x + 2A +5B)e^x
que deve igualar x e^x. Assim,
5A = 1\\ \Rightarrow\\ A=\tfrac15, \quad 2A+5B = 0\\ \Rightarrow\\ B=-\tfrac{2}{25}.
Logo
y_{p1}(x)=\Bigl(\tfrac15 x - \tfrac{2}{25}\Bigr)e^x.

Passo 4

Propor uma solução particular y_{p2} para o termo \cos x. Como \cos x não gera ressonância (raízes são \pm2i), tentamos
y_{p2}(x) = C\cos x + D\sin x.
Então
y_{p2}''+4y_{p2} = (-C\cos x -D\sin x) +4(C\cos x +D\sin x) = 3C\cos x +3D\sin x
que deve ser \cos x. Daí
3C = 1\\ \Rightarrow\\ C=\tfrac13, \quad 3D = 0\\ \Rightarrow\\ D=0.
Logo
y_{p2}(x)=\tfrac13\cos x.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \Bigl(\tfrac15 x - \tfrac{2}{25}\Bigr)e^x + \tfrac13\cos x.
Calculamos y'(x) para aplicar as condições iniciais. Primeiro, derivada de \bigl(\tfrac15 x - \tfrac{2}{25}\bigr)e^x é
\Bigl(\tfrac15 x - \tfrac{2}{25} + \tfrac15\Bigr)e^x = \Bigl(\tfrac15 x + \tfrac{3}{25}\Bigr)e^x.
E a derivada de \tfrac13\cos x é -\tfrac13\sin x. Também
\frac{d}{dx}\bigl[C_1\cos2x +C_2\sin2x\bigr] = -2C_1\sin2x +2C_2\cos2x.

Passo 6

Impor y(0)=1 e y'(0)=1. Em x=0 temos
y(0) = C_1 + \Bigl(-\tfrac{2}{25}\Bigr) + \tfrac13 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 1 + \tfrac{2}{25} - \tfrac13 = \tfrac{56}{75}.
E
y'(0) = 2C_2 + \Bigl(\tfrac{3}{25}\Bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2C_2 = 1 - \tfrac{3}{25} = \tfrac{22}{25} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \tfrac{11}{25}.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{ y(x) = \frac{56}{75}\cos(2x) + \frac{11}{25}\sin(2x) + \Bigl(\frac15 x - \frac{2}{25}\Bigr)e^x + \frac13\cos x. }

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