O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4y = x e^x + \cos(x),\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=1. \end{cases}
Isso envolve resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a soma da solução homogênea y_c e de uma particular y_p, e depois ajustar as constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
Determinar a solução homogênea y_c. A equação associada é
r^2 + 4 = 0
cuja raízes são r=\pm 2i. Logo
y_c(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).
Passo 3
Propor uma solução particular y_{p1} para o termo x e^x. Como e^x não é raiz da característica, tentamos
y_{p1}(x) = (A x + B)e^x.
Calculamos derivadas:
y_{p1}' = (A x + B + A)e^x,\quad y_{p1}'' = (A x + B + 2A)e^x.
Substituindo em y''+4y:
y_{p1}'' + 4y_{p1} = \bigl(A x + B + 2A +4(A x + B)\bigr)e^x = (5A x + 2A +5B)e^x