O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'+2y=\frac{e^{3x}}{e^x+1}.
O conteúdo envolve dois passos principais: (i) resolver a parte homogênea e (ii) encontrar uma solução particular. Para esta parte particular usaremos o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
y''-3y'+2y=0.
A equação característica é
r^2-3r+2=0\quad\Longrightarrow\quad(r-1)(r-2)=0,
com raízes r_1=1 e r_2=2. Logo a solução geral da homogênea é