3{ }^{\text {a }} Questão ( 2,5 pontos): Resolva a edo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\frac{e^{3 x}}{e^{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'+2y=\frac{e^{3x}}{e^x+1}.
O conteúdo envolve dois passos principais: (i) resolver a parte homogênea e (ii) encontrar uma solução particular. Para esta parte particular usaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y''-3y'+2y=0.
A equação característica é
r^2-3r+2=0\quad\Longrightarrow\quad(r-1)(r-2)=0,
com raízes r_1=1 e r_2=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h=C_1e^x + C_2e^{2x}.

Passo 3

No método de variação de parâmetros tomamos
y_1=e^x,\quad y_2=e^{2x},
e a Wronskiana
W= \begin{vmatrix} e^x & e^{2x}\\[6pt] e^x & 2e^{2x} \end{vmatrix} =e^x\cdot2e^{2x}-e^{2x}\cdot e^x=e^{3x}.
As fórmulas para as funções auxiliares são
u_1'=-\frac{y_2\,f(x)}{W}=-\frac{e^{2x}}{e^{3x}}\cdot\frac{e^{3x}}{e^x+1} =-\frac{e^{2x}}{e^x+1},
u_2'=\frac{y_1\,f(x)}{W}=\frac{e^x}{e^{3x}}\cdot\frac{e^{3x}}{e^x+1} =\frac{e^x}{e^x+1}.]

Passo 4

Calculamos as integrais
I_1=\int \frac{e^{2x}}{e^x+1}\,dx \quad\text{e}\quad I_2=\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.
Em ambas usamos a substituição u=e^x+1, du=e^x\,dx:
I_1=\int\frac{e^x\,(u-1)}{u}\,du =\int\Bigl(1-\frac1u\Bigr)\,du =u-\ln|u|+K =e^x+1-\ln(e^x+1)+K,
I_2=\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+K=\ln(e^x+1)+K.
Assim
u_1=-I_1=-(e^x+1)+\ln(e^x+1), \quad u_2=I_2=\ln(e^x+1).

Passo 5

A solução particular é
y_p=u_1\,y_1+u_2\,y_2 =\bigl[-(e^x+1)+\ln(e^x+1)\bigr]e^x +\ln(e^x+1)\,e^{2x}.
Agrupando, note que e^x+e^{2x}=e^x(1+e^x), fica
y_p=-e^x(e^x+1)+(e^x+e^{2x})\ln(e^x+1).

Passo 6

A solução geral da equação dada é
y(x)=y_h+y_p =C_1e^x+C_2e^{2x} -e^x(e^x+1)+(e^x+e^{2x})\ln(e^x+1).

Resposta

\boxed{y(x)=C_1e^x+C_2e^{2x}-e^x\bigl(e^x+1\bigr)+(e^x+e^{2x})\ln\bigl(e^x+1\bigr).}

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