Questão ( 1.5 pontos): Determine os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeita à condição
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeita à restrição
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Ou seja: queremos os pontos
que satisfazem a equação da restrição e que tornam
o maior ou o menor possível sob essa restrição.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicando passo a passo o que é usado).\n
Aqui vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange — uma ferramenta padrão para otimização com restrição. Vou explicar a ideia devagar: se queremos extremizar sujeito a
(onde
), então nos pontos extremos, os gradientes de
e de
são paralelos. Ou seja, existe um número
(o multiplicador) tal que
Aqui vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange — uma ferramenta padrão para otimização com restrição. Vou explicar a ideia devagar: se queremos extremizar
Aqui
significa o vetor das derivadas parciais de
:
e o mesmo para
.\n
Agora aplicamos isso no nosso problema. Definimos
Agora aplicamos isso no nosso problema. Definimos
As derivadas parciais são:
A condição de Lagrange dá o sistema
junto com a restrição
A partir desse sistema vamos encontrar os candidatos a extremos.
Passo 3
Analisando os casos possíveis (pequeno raciocínio sobre divisões por zero).\n
Primeiro observação importante: as equações de Lagrange acima assumem bem o caso em que e
podem ser zero ou não. Precisamos checar situações separadas:
Primeiro observação importante: as equações de Lagrange acima assumem bem o caso em que
- Caso A: algum de
ou é zero. - Caso B:
e .
Tratamos cada caso.
Passo 4
Caso A — suponha
(o caso
é análogo).\n
Se , a restrição impõe
, ou seja
Se
Daí
. Esses pontos estão na curva de restrição e dão
Analogamente, se
então
e
. Portanto todos os pontos com uma coordenada zero produzem o valor
. Guardamos esses pontos como candidatos (valor
), mas ainda precisamos comparar com outros candidatos para decidir máximos e mínimos.
Passo 5
Caso B —
e
. Dividimos as equações de Lagrange para eliminar
.\n
Das equações
Das equações
podemos dividir a primeira pela segunda (como
e
não são zero):
Isso simplifica para
Da igualdade
segue que
, ou seja
. Vamos estudar as duas possibilidades.
Passo 6
Subcaso B1 —
.\n
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
Para
real,
dá
. Assim obtemos os pontos
Os valores de
nesses pontos são
Ou seja ambos dão
.
Passo 7
Subcaso B2 —
.\n
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
novamente
. Isso gera os pontos
Os valores de
nesses pontos são
Passo 8
Comparação dos candidatos e conclusão (por que isso garante máximos e mínimos globais).\n
A restrição define um conjunto fechado e limitado no plano (é compacto). Em um conjunto compacto uma função contínua atinge seus valores máximo e mínimo. Encontramos os candidatos:
A restrição
- pontos com uma coordenada zero: valor
; - pontos
e : valor ; - pontos
e : valor .
Comparando os valores, o maior valor obtido é
e o menor é
. Portanto os máximos e mínimos globais sob a restrição são os achados acima. (Não é necessário fazer um teste de segunda derivada complicado porque comparamos os valores em todos os candidatos e o conjunto é compacto.)
Resposta
Máximos:
e
com
.\n
Mínimos: e
com
.
Mínimos: