4{ }^{\text {a }} Questão ( 1.5 pontos): Determine os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y)=x y sujeita à condição x^{4}+y^{4}=32.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de máximo e de mínimo da função f(x,y)=xy sujeita à restrição x^{4}+y^{4}=32.\n
Informações dadas:
f(x,y)=xy
\text{sujeito a } \; x^{4}+y^{4}=32.
Ou seja: queremos os pontos (x,y) que satisfazem a equação da restrição e que tornam f o maior ou o menor possível sob essa restrição.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicando passo a passo o que é usado).\n
Aqui vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange — uma ferramenta padrão para otimização com restrição. Vou explicar a ideia devagar: se queremos extremizar f(x,y) sujeito a g(x,y)=0 (onde g(x,y)=x^{4}+y^{4}-32), então nos pontos extremos, os gradientes de f e de g são paralelos. Ou seja, existe um número \lambda (o multiplicador) tal que
\(\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y)\).
Aqui \nabla f significa o vetor das derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right),
e o mesmo para \nabla g.\n
Agora aplicamos isso no nosso problema. Definimos
g(x,y)=x^{4}+y^{4}-32.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x,
\frac{\partial g}{\partial x}=4x^{3},\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=4y^{3}.
A condição de Lagrange dá o sistema
y = \lambda\cdot 4x^{3},
x = \lambda\cdot 4y^{3},
junto com a restrição
x^{4}+y^{4}=32.
A partir desse sistema vamos encontrar os candidatos a extremos.

Passo 3

Analisando os casos possíveis (pequeno raciocínio sobre divisões por zero).\n
Primeiro observação importante: as equações de Lagrange acima assumem bem o caso em que x e y podem ser zero ou não. Precisamos checar situações separadas:
  • Caso A: algum de x ou y é zero.
  • Caso B: x\neq 0 e y\neq 0.
Tratamos cada caso.

Passo 4

Caso A — suponha x=0 (o caso y=0 é análogo).\n
Se x=0, a restrição impõe 0^{4}+y^{4}=32, ou seja
y^{4}=32.
Daí y=\pm 32^{1/4}. Esses pontos estão na curva de restrição e dão
f(0,y)=0\cdot y=0.
Analogamente, se y=0 então x^{4}=32 e f(x,0)=0. Portanto todos os pontos com uma coordenada zero produzem o valor f=0. Guardamos esses pontos como candidatos (valor 0), mas ainda precisamos comparar com outros candidatos para decidir máximos e mínimos.

Passo 5

Caso B — x\neq 0 e y\neq 0. Dividimos as equações de Lagrange para eliminar \lambda.\n
Das equações
y = 4\lambda x^{3},\qquad x = 4\lambda y^{3},
podemos dividir a primeira pela segunda (como x e y não são zero):
\frac{y}{x}=\frac{4\lambda x^{3}}{4\lambda y^{3}}=\frac{x^{3}}{y^{3}}.
Isso simplifica para
\frac{y}{x}=\frac{x^{3}}{y^{3}}\quad\Rightarrow\quad y^{4}=x^{4}.
Da igualdade y^{4}=x^{4} segue que |y|=|x|, ou seja y=\pm x. Vamos estudar as duas possibilidades.

Passo 6

Subcaso B1 — y=x.\n
Substituindo na restrição:
x^{4}+x^{4}=2x^{4}=32 \quad\Rightarrow\quad x^{4}=16.
Para x real, x^{4}=16 x=\pm 2. Assim obtemos os pontos
(2,2)\quad\text{e}\quad(-2,-2).
Os valores de f nesses pontos são
f(2,2)=2\cdot 2=4,\qquad f(-2,-2)=(-2)(-2)=4.
Ou seja ambos dão f=4.

Passo 7

Subcaso B2 — y=-x.\n
Substituindo na restrição:
x^{4}+(-x)^{4}=2x^{4}=32 \quad\Rightarrow\quad x^{4}=16,
novamente x=\pm 2. Isso gera os pontos
(2,-2)\quad\text{e}\quad(-2,2).
Os valores de f nesses pontos são
f(2,-2)=2\cdot(-2)=-4,\qquad f(-2,2)=(-2)\cdot 2=-4.

Passo 8

Comparação dos candidatos e conclusão (por que isso garante máximos e mínimos globais).\n
A restrição x^{4}+y^{4}=32 define um conjunto fechado e limitado no plano (é compacto). Em um conjunto compacto uma função contínua atinge seus valores máximo e mínimo. Encontramos os candidatos:
  • pontos com uma coordenada zero: valor f=0;
  • pontos (2,2) e (-2,-2): valor f=4;
  • pontos (2,-2) e (-2,2): valor f=-4.
Comparando os valores, o maior valor obtido é 4 e o menor é -4. Portanto os máximos e mínimos globais sob a restrição são os achados acima. (Não é necessário fazer um teste de segunda derivada complicado porque comparamos os valores em todos os candidatos e o conjunto é compacto.)

Resposta

Máximos: (2,2) e (-2,-2) com f=4.\n
Mínimos: (2,-2) e (-2,2) com f=-4.

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