2^{\text {a }} Questão (2,0 pts): Calcule a integral de caminho
I=\int_{C}(x+y)^{2} d x+(x-y)^{2} d y
onde o caminho indicado C denota o trecho da reta 2 x+y=6 desde o ponto A=(0,6) até B=(2,2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
I=\int_{C}(x+y)^{2}\,dx+(x-y)^{2}\,dy
sobre o segmento da reta 2x+y=6 que vai de A=(0,6) até B=(2,2). Vamos usar parametrização do caminho e substituir diretamente na integral.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t,\quad y(t)=6-2t,\quad t\in[0,2],
pois em t=0 obtemos A=(0,6) e em t=2 obtemos B=(2,2). Então
dx=dt,\quad dy=-2\,dt.

Passo 3

Substituindo em I, obtemos
I=\int_{0}^{2}\bigl(x+y\bigr)^{2}\,dx+\bigl(x-y\bigr)^{2}\,dy =\int_{0}^{2}\bigl[t+(6-2t)\bigr]^{2}\,dt+\bigl[t-(6-2t)\bigr]^{2}(-2)\,dt.
Como t+(6-2t)=6-t e t-(6-2t)=3t-6, o integrando fica
(6-t)^{2}-2\,(3t-6)^{2} =-17t^{2}+60t-36.

Passo 4

Agora integramos o polinômio de 0 a 2:
I=\int_{0}^{2}\bigl(-17t^{2}+60t-36\bigr)\,dt =\Bigl[-\tfrac{17}{3}t^{3}+30t^{2}-36t\Bigr]_{0}^{2} =48-\tfrac{136}{3} =\tfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle I=\tfrac{8}{3}.

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