3^{\text {a }}. Questão (4 pts): Considere 4 cargas pontuais de magnitude +Q localizadas ao longo do eixo x, nos pontos de coordenadas P_{1}(-a, 0,0), P_{2}(-a / 2,0,0), P_{3}(+a / 2,0,0) e P_{4}(+a, 0,0). Derive:
(a) O campo elétrico no ponto de coordenadas P(0, y, 0).
(b) Opotencial eletrostático no ponto de coordenadas P(0, y, 0).
Dado que a=2 \mathrm{~cm} e Q=1 \mathrm{C}.
(c) Calcule a diferença de potencial entre os pontos de coordenadas P_{1}(0,2,0) e P_{1}(0,6,0).
(d) Qual o valor e localização de um arranjo de cargas pontuais que cancela o campo elétrico no ponto P(0,3,0).

Passo 1

O enunciado descreve quatro cargas pontuais iguais de valor +Q em P_{1}(-a,0,0), P_{2}(-a/2,0,0), P_{3}(+a/2,0,0) e P_{4}(+a,0,0).
(a) pede o campo elétrico em P(0,y,0).
(b) pede o potencial eletrostático em P(0,y,0).
(c) com a=2\:\mathrm{cm} e Q=1\:\mathrm{C}, calcula a diferença de potencial entre P(0,2\:\mathrm{cm},0) e P(0,6\:\mathrm{cm},0).
(d) pede um arranjo de cargas pontuais (valores e posições) que zere o campo em P(0,3\:\mathrm{cm},0).
Vamos usar superposição de campo e potencial, simetria para cancelar componentes e as fórmulas
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\sum_i\frac{q_i(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}, \quad V(\mathbf{r})=k\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|},
com k=1/(4\pi\varepsilon_0).

Passo 2

Em P(0,y,0) cada carga em (x_i,0,0) gera
\mathbf{r}_i=(0,y,0)-(x_i,0,0)=(-x_i,y,0),\quad r_i=\sqrt{x_i^2+y^2}.
O campo de uma carga +Q é
\mathbf{E}_i = kQ\frac{(-x_i\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath})}{(x_i^2+y^2)^{3/2}}.
Pelas cargas em \pm a e em \pm a/2 as componentes x se cancelam por simetria, sobrando só y. Logo
E_y = kQ\,y\biggl[ \frac{1}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\frac{1}{(a^2+y^2)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl((a/2)^2+y^2\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl((a/2)^2+y^2\bigr)^{3/2}} \biggr]
=2kQ\,y\biggl[\frac{1}{(a^2+y^2)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl((a/2)^2+y^2\bigr)^{3/2}}\biggr].
Portanto
\boxed{ \mathbf{E}(0,y,0) =E_y\,\hat{\jmath} =2kQ\,y\Bigl[(a^2+y^2)^{-3/2}+((a/2)^2+y^2)^{-3/2}\Bigr]\;\hat{\jmath}. }

Passo 3

O potencial em P(0,y,0) é soma escalar
V = kQ\Bigl[ \frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}} +\frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}} +\frac{1}{\sqrt{(a/2)^2+y^2}} +\frac{1}{\sqrt{(a/2)^2+y^2}} \Bigr]
=2kQ\Bigl[\frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{(a/2)^2+y^2}}\Bigr].
Logo
\boxed{ V(0,y,0) =2kQ\Bigl[(a^2+y^2)^{-1/2}+((a/2)^2+y^2)^{-1/2}\Bigr]. }

Passo 4

Agora a=2\:\mathrm{cm}=0{,}02\:\mathrm{m}, Q=1\:\mathrm{C}, k=8{,}99\times10^9\:\mathrm{SI}.
Defina
V(y)=2k\,\bigl[(a^2+y^2)^{-1/2}+((a/2)^2+y^2)^{-1/2}\bigr].
Para y_1=2\:\mathrm{cm}=0{,}02\:\mathrm{m}:
V_1=V(0{,}02)\approx8{,}99\times10^9\cdot160{,}15\approx1{,}44\times10^{12}\:\mathrm{V}.
Para y_2=6\:\mathrm{cm}=0{,}06\:\mathrm{m}:
V_2=V(0{,}06)\approx8{,}99\times10^9\cdot64{,}49\approx5{,}80\times10^{11}\:\mathrm{V}.
A diferença de potencial pedida é
\boxed{ \Delta V =V(0,2{\rm cm},0)-V(0,6{\rm cm},0) \approx1{,}44\times10^{12}-5{,}80\times10^{11} =8{,}6\times10^{11}\:\mathrm{V}. }

Passo 5

Para anular o campo em P(0,3\:\mathrm{cm},0) basta introduzir um par de cargas iguais em módulo e sinais opostos, simetricamente dispostas em relação a y=3\:\mathrm{cm} sobre o eixo y. Por exemplo, escolha
+Q'\text{ em }(0,3{,}00+ d,0), \quad -Q'\text{ em }(0,3{,}00- d,0),
com d\neq0. Cada uma gera em P um campo de mesmo módulo e sentido contrário, cancelando-se mutuamente; como as originais não têm componente y nos pontos simétricos, o resultado é \mathbf{E}_{\rm total}(0,3{\rm cm},0)=0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,y,0) =2kQ\,y\Bigl[(a^2+y^2)^{-3/2}+((a/2)^2+y^2)^{-3/2}\Bigr]\hat{\jmath}.
(b) \displaystyle V(0,y,0) =2kQ\Bigl[(a^2+y^2)^{-1/2}+((a/2)^2+y^2)^{-1/2}\Bigr].
(c) \displaystyle \Delta V\approx8{,}6\times10^{11}\:\mathrm{V}.
(d) Por exemplo, colocar \displaystyle +Q' em (0,3{,}00{\rm cm}+d,0)
e \displaystyle -Q' em (0,3{,}00{\rm cm}-d,0),
com qualquer d\neq0, zera o campo em P(0,3{\rm cm},0).

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