Questão (2,0 pts): Dado o campo vetorial
e o caminho
definido por
e
, calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é o arco do círculo unitário dado por
O conteúdo principal aqui é integral de linha de campo vetorial e verificar se
é conservativo para usar o Teorema Fundamental do Cálculo em campos conservativos.
Passo 2
Primeiro checamos se
é conservativo, ou seja, se existe potencial
tal que
A condição de integrabilidade em um domínio sem buracos é
Calculamos
logo são iguais e
é conservativo.
Passo 3
Para encontrar
, integramos
em relação a
, considerando uma “constante”
:
Passo 4
Agora impomos
. Da expressão acima,
e isso deve ser igual a
. Logo
Desconsideramos a constante
na integral de linha.
Passo 5
Assim o potencial pode ser escolhido como
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Nosso ponto inicial é
e o final é
. Então
Portanto