1{ }^{\text {a }} Questão (2,0 pts): Dado o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=(4 x+2 y) \hat{\mathbf{i}}+(2 x-y) \hat{\mathbf{j}}
e o caminho \mathcal{C} definido por x=\cos t e y=\sin t \operatorname{com} 0 \leq t \leq \pi / 2, calcule a integral
I=\int_{c} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I = \int_{\mathcal C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y) = (4x+2y)\,\hat{\mathbf{i}} + (2x - y)\,\hat{\mathbf{j}} e \mathcal C é o arco do círculo unitário dado por
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le \tfrac\pi2.
O conteúdo principal aqui é integral de linha de campo vetorial e verificar se \mathbf{F} é conservativo para usar o Teorema Fundamental do Cálculo em campos conservativos.

Passo 2

Primeiro checamos se \mathbf{F} é conservativo, ou seja, se existe potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=4x+2y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x - y.
A condição de integrabilidade em um domínio sem buracos é
\frac{\partial}{\partial y}(4x+2y) = \frac{\partial}{\partial x}(2x - y).
Calculamos
\frac{\partial}{\partial y}(4x+2y)=2, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2,
logo são iguais e \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para encontrar \varphi(x,y), integramos \frac{\partial \varphi}{\partial x}=4x+2y em relação a x, considerando uma “constante” g(y):
\varphi(x,y)=\int (4x+2y)\,dx = 2x^2 + 2xy + g(y).

Passo 4

Agora impomos \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x - y. Da expressão acima,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =2x + g'(y)
e isso deve ser igual a 2x - y. Logo
2x + g'(y) = 2x - y \quad\Longrightarrow\quad g'(y) = -y \quad\Longrightarrow\quad g(y) = -\tfrac12\,y^2 + C.
Desconsideramos a constante C na integral de linha.

Passo 5

Assim o potencial pode ser escolhido como
\varphi(x,y)=2x^2 + 2xy - \tfrac12\,y^2.
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
I = \varphi\bigl(x(\tfrac\pi2),y(\tfrac\pi2)\bigr) - \varphi\bigl(x(0),y(0)\bigr).
Nosso ponto inicial é (x(0),y(0))=(1,0) e o final é (x(\tfrac\pi2),y(\tfrac\pi2))=(0,1). Então
\varphi(0,1) = 2\cdot0^2 +2\cdot0\cdot1 -\tfrac12\cdot1^2 = -\tfrac12,
\varphi(1,0) = 2\cdot1^2 +2\cdot1\cdot0 -\tfrac12\cdot0^2 = 2.
Portanto
I = \bigl(-\tfrac12\bigr) - 2 = -\tfrac52.

Resposta

I = -\tfrac52.

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