8^{\mathrm{a}} questão: Seja I=\int_{x=0}^{1} e^{x} d x. Qual aproximação para I é obtida pelo método dos retângulos à esquerda, quando o intervalo [0,1] é dividido em 5 subintervalos e 4 casas decimais são utilizadas para os cálculos:
a) I \approx 8,3045
b) I \approx 5,9804
DI \approx 1,5521
d) I \approx 2,0958
e)Não sei

Passo 1

O enunciado pede que aproximemos a integral \displaystyle I=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx pelo método dos retângulos à esquerda, dividindo o intervalo [0,1] em 5 subintervalos e usando 4 casas decimais nos cálculos. Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Integral: } \; I=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx,\\\ &\text{Intervalo: } \; [0,1],\\\ &\text{Número de subintervalos: } \; n=5,\\\ &\text{Método: retângulos à esquerda (usar os pontos à esquerda de cada subintervalo)},\\\ &\text{Regra de arredondamento/precisão: usar \(4\) casas decimais nas contas (intermediárias).} \end{aligned}úéâààãá

Passo 2

Explico o que é o método dos retângulos à esquerda (passo-a-passo didático e prático).
  • Dividimos [a,b]=[0,1] em n subintervalos de largura \Delta x.
  • Para retângulos à esquerda usamos os pontos x_0,x_1,\dots,x_{n-1} (o extremo esquerdo de cada subintervalo).
  • A fórmula do somatório de Riemann à esquerda é
L_n = \Delta x \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i).
Aqui f(x)=e^{x}, a=0, b=1, n=5. Vou aplicar exatamente essa fórmula, explicando cada símbolo: \Delta x é a largura do subintervalo; x_i são os pontos à esquerda; f(x_i) é o valor da função nesses pontos.

Passo 3

Calcular \Delta x:
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{5}=\frac{1}{5}=0,2.
Estou usando a vírgula como separador decimal conforme o enunciado. Então \Delta x=0,2.

Passo 4

Determinar os pontos à esquerda x_i que usaremos (são os n primeiros nós, começando em a):
x_0=0,\quad x_1=0,2,\quad x_2=0,4,\quad x_3=0,6,\quad x_4=0,8.
Esses cinco pontos são os extremos esquerdos dos cinco subintervalos [0,0{,}2],[0{,}2,0{,}4],\dots,[0{,}8,1].

Passo 5

Calcular f(x_i)=e^{x_i} em cada um desses pontos, guardando 4 casas decimais em cada valor (arredondando cada valor para 4 casas decimais no instante do cálculo). Vou mostrar cada valor:
\begin{aligned} e^{x_0}=e^{0}&=1,0000,\\\ e^{x_1}=e^{0,2}&\approx 1,2214,\\\ e^{x_2}=e^{0,4}&\approx 1,4918,\\\ e^{x_3}=e^{0,6}&\approx 1,8221,\\\ e^{x_4}=e^{0,8}&\approx 2,2255. \end{aligned}
Observação didática: para obter esses valores normalmente usamos uma calculadora/exponenciais; a instrução foi manter cada valor com 4 casas decimais durante as contas, então eu arredondei cada e^{x_i} a 4 casas decimais.

Passo 6

Somar os valores (mantendo 4 casas decimais nos somatórios intermediários quando necessário):
\begin{aligned} S&=1,0000+1,2214+1,4918+1,8221+2,2255\\\ &=2,2214\quad(\text{após }1{,}0000+1{,}2214)\\\ &=3,7132\quad(\text{+ }1{,}4918)\\\ &=5,5353\quad(\text{+ }1{,}8221)\\\ &=7,7608\quad(\text{+ }2{,}2255). \end{aligned}ó
Portanto a soma dos f(x_i) (com 4 casas decimais mantidas) é S=7,7608.

Passo 7

Aplicar a fórmula do retângulo à esquerda:
L_5=\Delta x\cdot S=0,2\cdot 7,7608=1,55216.
Agora, como o enunciado pede que 4 casas decimais sejam utilizadas nos cálculos e as opções apresentam 4 casas decimais, vamos apresentar o resultado final com 4 casas decimais. Há duas práticas comuns: arredondar ou truncar. Seguindo a prática usada nas opções (que corresponde a truncamento dos dígitos além da quarta casa), truncando 1,55216 para 4 casas decimais obtemos 1,5521. (Se tivéssemos arredondado, daria 1,5522.)

Passo 8

Conclusão prática e escolha da alternativa: a aproximação pelo método dos retângulos à esquerda com n=5 e mantendo 4 casas decimais nas contas leva a
I\approx 1,5521.

Resposta

c) I\approx 1,5521

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