9 { }^{\mathrm{a}} questão: Calcular \int_{0}^{1}\left(6-6 x^{5}\right) d x e o erro relativo percentual cometido ao se utilizar a regra dos trapézios \left(I_{T}\right) em relação ao valor correto I_{C}. Considere 4 subintervalos e 4 casas decimais, sendo E_{R}=\frac{\left|I_{T}-I_{C}\right|}{I_{C}}.
3,09%
b) 0,16%
c) 1,5 \%
d) 0,37%
e)Não sei

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a integral \int_{0}^{1}\left(6-6 x^{5}\right)\,dx (valor exato I_{C}).
  2. Calcular o erro relativo percentual cometido ao usar a regra dos trapézios com 4 subintervalos ( I_{T}) em relação a I_{C}, usando
E_{R}=\frac{\left|I_{T}-I_{C}\right|}{I_{C}}
e apresentando resultados com 4 casas decimais onde indicado.
Dados fornecidos relevantes:
  • Função: f(x)=6-6x^{5}.
  • Intervalo: [0,1].
  • Número de subintervalos para a regra dos trapézios: n=4.
  • Deve-se considerar 4 casas decimais (vamos arredondar os valores numéricos para 4 casas decimais quando apropriado).

Passo 2

Calcular o valor exato da integral I_{C}.
Regra de integração de potências: para k\neq -1,
\int x^{k}\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C.
Aqui integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}\left(6-6x^{5}\right)\,dx =6\int_{0}^{1}1\,dx -6\int_{0}^{1}x^{5}\,dx.

Passo 3

Avaliar cada integral:
6\int_{0}^{1}1\,dx = 6\left[x\right]_{0}^{1}=6(1-0)=6,
6\int_{0}^{1}x^{5}\,dx = 6\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=6\cdot\frac{1}{6}=1.
Portanto,
I_{C}=6-1=5.

Passo 4

Apresentar a fórmula da regra dos trapézios com n subintervalos.
Se h=\dfrac{b-a}{n} e x_{i}=a+i h para i=0,\dots,n, então a regra dos trapézios é
I_{T}=h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right).
Aqui a=0, b=1, n=4. Vou explicar cada símbolo:
  • h é o comprimento de cada subintervalo.
  • f(x_{i}) são os valores da função nos nós.
  • A fórmula soma as alturas dos trapézios (médias das extremidades) multiplicadas por h.

Passo 5

Calcular h e os nós x_{i}:
h=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Nós:
x_{0}=0,\quad x_{1}=0,25,\quad x_{2}=0,50,\quad x_{3}=0,75,\quad x_{4}=1.

Passo 6

Avaliar f em cada nó (mostro o cálculo exato e depois o arredondamento para 4 casas decimais):
Para x_{0}=0:
f(0)=6-6\cdot 0^{5}=6.
Para x_{1}=0,25:
f(0,25)=6-6(0,25)^{5}=6-6\cdot\frac{1}{1024}=6-\frac{6}{1024}=6-0,005859375=5,994140625\approx 5,9941.
Para x_{2}=0,50:
f(0,50)=6-6(0,5)^{5}=6-6\cdot\frac{1}{32}=6-\frac{6}{32}=6-0,1875=5,8125\quad(\text{já com 4 casas: }5,8125).á
Para x_{3}=0,75:
(0,75)^{5}=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{5}=\frac{243}{1024}\approx 0,2373046875,
f(0,75)=6-6\cdot 0,2373046875=6-1,423828125=4,576171875\approx 4,5762.
Para x_{4}=1:
f(1)=6-6\cdot 1^{5}=6-6=0.
Resumindo (valores arredondados para 4 casas decimais):
f(0)=6,0000,\quad f(0,25)\approx 5,9941,\quad f(0,50)=5,8125,\quad f(0,75)\approx 4,5762,\quad f(1)=0,0000.

Passo 7

Aplicar a fórmula dos trapézios.
Primeiro calcule a soma dos pontos internos:
\sum_{i=1}^{3}f(x_{i}) \approx 5,9941+5,8125+4,5762=16,3828.
Agora calcule I_{T}:
I_{T}=h\left(\frac{f(x_{0})+f(x_{4})}{2}+\sum_{i=1}^{3}f(x_{i})\right) =0,25\left(\frac{6,0000+0,0000}{2}+16,3828\right).
\frac{6,0000+0,0000}{2}=3,0000,
3,0000+16,3828=19,3828,
I_{T}=0,25\cdot 19,3828=4,8457\quad(\text{com 4 casas decimais}).
(Observação: o valor não arredondado é I_{T}=4,845703125, que arredonda para 4,8457.)

Passo 8

Calcular o erro relativo percentual E_{R}.
Definição:
E_{R}=\frac{\left|I_{T}-I_{C}\right|}{I_{C}}.
Substituindo I_{T}\approx 4,8457 e I_{C}=5:
\left|I_{T}-I_{C}\right|=\left|4,8457-5\right|=0,1543.
E_{R}=\frac{0,1543}{5}=0,03086\approx 0,0309.
Em porcentagem:
E_{R}\times 100\% \approx 3,086\%\approx 3,09\%.

Resposta

(a) 3,09\%

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