(3,0) Questão 1. Calcule as derivadas em relação a x utilizando as regras de derivação.
f(x)=(\ln x+\sqrt{x})^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^{3}
em relação a x. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com as derivadas de \ln x e de x^{1/2}.

Passo 2

Defina a função interior
g(x) = \ln x + \sqrt{x}.
Usando as regras de derivação de soma, de logaritmo e de potência, temos
g'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora aplique a regra da cadeia para \displaystyle f(x) = [\,g(x)\,]^{3}. Sendo h(u)=u^{3}, h'(u)=3u^{2}, obtemos
f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x) = 3\bigl(g(x)\bigr)^{2}\,\bigl(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr) = 3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^{2}\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 4

Vamos simplificar o fator entre parênteses:
\frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} + x}{2x\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}\,(2+\sqrt{x})}{2x\sqrt{x}} = \frac{2+\sqrt{x}}{2x}.
Logo,
f'(x) = 3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^{2}\,\frac{2+\sqrt{x}}{2x}.

Resposta

\boxed{f'(x) = \frac{3\bigl(\ln x + \sqrt{x}\bigr)^{2}\,\bigl(2+\sqrt{x}\bigr)}{2x}.}

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