Utilize o método de interpolação de Newton com diferenças divididas para os dados:
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 20 30 40
\mu 1,02 0,80 0,65
a) Construa a tabela de diferenças divididas.
b) Obtenha o polinômio interpolador de Newton.
c) Compare o valor de \mu(35) obtido com o da interpolação de Lagrange.

Passo 1

O problema dá três pontos (T,\mu): (20,1,02), (30,0,80) e (40,0,65).
O objetivo é usar o método de Newton com diferenças divididas para:
  1. Montar a tabela de diferenças divididas.
  2. Obter o polinômio interpolador de Newton P(T).
  3. Calcular \mu(35) por Newton e comparar com o valor obtido por Lagrange (que deve coincidir).

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1] =\frac{f(30)-f(20)}{30-20} =\frac{0,80-1,02}{10} =-0,022,
f[x_1,x_2] =\frac{f(40)-f(30)}{40-30} =\frac{0,65-0,80}{10} =-0,015.

Passo 3

Calcular a diferença dividida de segunda ordem e montar a tabela:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{40-20} =\frac{-0,015-(-0,022)}{20} =0,00035.
Tabela de diferenças divididas (ordens 0, 1 e 2):
x_0=20: f=1,02
x_1=30: f=0,80, f[x_0,x_1]=-0,022
x_2=40: f=0,65, f[x_1,x_2]=-0,015, f[x_0,x_1,x_2]=0,00035

Passo 4

Construir o polinômio de Newton na forma progressiva:
P(T) = f[x_0] +f[x_0,x_1]\,(T-20) +f[x_0,x_1,x_2]\,(T-20)(T-30).
Substituindo os valores:
P(T) =1,02 -0,022\,(T-20) +0,00035\,(T-20)(T-30).

Passo 5

Avaliar em T=35:
P(35) =1,02-0,022\cdot15+0,00035\cdot15\cdot5 =1,02-0,33+0,02625 =0,71625.
O método de Lagrange aplicado a estes três pontos dá o mesmo valor \mu(35)\approx0,71625.

Resposta

a) Tabela de diferenças divididas:
x=20: f=1,02
x=30: f=0,80, f[x_0,x_1]=-0,022
x=40: f=0,65, f[x_1,x_2]=-0,015, f[x_0,x_1,x_2]=0,00035
b)
P(T)=1,02-0,022\,(T-20)+0,00035\,(T-20)(T-30).
c)
\mu(35)\approx0,71625 pelo polinômio de Newton, que coincide com o valor obtido por interpolação de Lagrange.

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