Questão 3. (2,5 pontos)
Considere os seguintes dados de observação para um fenômeno físico:
x 1 2 3 4
y 2,2 2,8 3,6 4,5
a) Ajuste uma função linear y=a x+b utilizando o método dos mínimos quadrados.
b) Calcule os coeficientes a e b.
c) Forneça a reta ajustada e estime o valor de y para x=2,5.

Passo 1

O enunciado dá quatro observações do fenômeno:
(x,y) = (1,2{,}2), (2,2{,}8), (3,3{,}6) e (4,4{,}5), e pede o ajuste de uma reta \,y = a x + b pelo método dos mínimos quadrados. Vamos precisar calcular
\sum x, \sum y, \sum x^2, \sum x\,y e usar as fórmulas
a = \frac{n\,\sum x\,y - (\sum x)(\sum y)}{n\,\sum x^2 - (\sum x)^2},
b = \frac{\sum y - a\,\sum x}{n},
onde n é o número de pontos.

Passo 2

Calcular as somas necessárias:
\sum x = 1+2+3+4 = 10,
\sum y = 2{,}2 + 2{,}8 + 3{,}6 + 4{,}5 = 13{,}1,
\sum x^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30,
\sum x\,y = 1\cdot2{,}2 + 2\cdot2{,}8 + 3\cdot3{,}6 + 4\cdot4{,}5 = 36{,}6.
E n = 4.

Passo 3

Aplicar as fórmulas:
a = \frac{4\cdot36{,}6 - 10\cdot13{,}1}{4\cdot30 - 10^2} = \frac{146{,}4 - 131}{120 - 100} = \frac{15{,}4}{20} = 0{,}77,
b = \frac{13{,}1 - 0{,}77\cdot10}{4} = \frac{13{,}1 - 7{,}7}{4} = \frac{5{,}4}{4} = 1{,}35.

Passo 4

A reta ajustada fica
\hat y = 0{,}77\,x + 1{,}35.
Para x=2{,}5,
\hat y(2{,}5) = 0{,}77\cdot2{,}5 + 1{,}35 = 1{,}925 + 1{,}35 = 3{,}275 \approx 3{,}28.

Resposta

a = 0{,}77 b = 1{,}35
Reta ajustada: \hat y = 0{,}77\,x + 1{,}35
Estimativa: \hat y(2{,}5)\approx3{,}28

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