4{ }^{\mathrm{a}} Questão: Utilizando o método da Posição Falsa, determine a primeira raiz positiva da função f(x)=x^{3}-9 x+3 \operatorname{com} \varepsilon=5.10^{-4}. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.

Passo 1

O enunciado pede: utilizar o método da Posição Falsa (regula falsi) para determinar a primeira raiz positiva da função f(x)=x^{3}-9x+3 com tolerância \varepsilon=5\cdot10^{-4}.
Informações dadas e perguntas a responder:
  • A função é f(x)=x^{3}-9x+3.
  • A tolerância é \varepsilon=5\cdot10^{-4}.
  • Preciso encontrar a primeira raiz positiva (ou seja, a menor raiz >0) e parar quando a condição de parada escolhida baseada em \varepsilon for satisfeita.
  • É pedido justificar tudo o que for necessário para garantir convergência do método.

Passo 2

Verificação inicial: procurar um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 para aplicar Posição Falsa. Calculo:
f(0)=0^{3}-9\cdot0+3=3>0,
f(1)=1^{3}-9\cdot1+3=1-9+3=-5<0.
Como f(0)>0 e f(1)<0, há pelo Teorema do Valor Intermediário (função polinomial é contínua) pelo menos uma raiz em (0,1). Portanto podemos escolher a_{0}=0 e b_{0}=1.
Justificativa de unicidade da raiz em (0,1): calcule a derivada
f'(x)=3x^{2}-9=3(x^{2}-3).
Para x\in[0,1] temos x^{2}-3<0, logo f'(x)<0 em [0,1]. Portanto f é estritamente decrescente em [0,1] e só pode ter uma única raiz nesse intervalo. Isso é útil: garante que o método, mantendo o bracket em [0,1], convergirá para essa única raiz positiva que queremos.

Passo 3

Explicação do método da Posição Falsa e fórmula usada: dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, a aproximação por Posição Falsa é obtida pela interseção da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)},
ou equivalentemente
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são os extremos do intervalo atual e c é a nova aproximação. Depois se f\text{(c)} tem sinal oposto a f(a) substituímos b por c; se tiver sinal oposto a f(b) substituímos a por c. Assim o novo intervalo continua a conter a raiz.
Critério de parada: o enunciado dá apenas \varepsilon sem especificar se é para |x_{n}-x_{n-1}| ou |f(x_{n})|. Vou escolher como critério de parada a condição
|f\text{(c)}|<\varepsilon,
porque é um critério direto para garantir que o valor da função na aproximação é pequeno (indica que estamos perto da raiz real). Também comentarei que outra opção seria checar |c_{n}-c_{n-1}|<\varepsilon; porém em Posição Falsa pode ocorrer estagnação do intervalo em um extremo e isso tornaria o critério por diferença de x menos robusto. Assim, usarei |f\text{(c)}|<5\cdot10^{-4}.

Passo 4

Iteração 1: a_{0}=0,\; b_{0}=1.
f(a_{0})=3,\qquad f(b_{0})=-5.
Aplicando a fórmula:
c_{1}= \frac{a_{0}f(b_{0})-b_{0}f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} = \frac{0\cdot(-5)-1\cdot 3}{-5-3}=\frac{-3}{-8}=0,375.
Calcule f(c_{1}):
f(0{,}375)=0{,}375^{3}-9\cdot0{,}375+3 =0{,}052734375-3{,}375+3=-0{,}322265625.
Como f(c_{1})<0 e f(a_{0})>0, a raiz está em [a_{1},b_{1}]=[0,\,0{,}375].

Passo 5

Iteração 2: a_{1}=0,\; b_{1}=0{,}375.
f(a_{1})=3,\qquad f(b_{1})=-0{,}322265625.
Calcule c_{2}:
c_{2}= \frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} = \frac{0\cdot(-0{,}322265625)-0{,}375\cdot 3}{-0{,}322265625-3}.
Efetuando as operações (pode-se simplificar numericamente):
c_{2}\approx 0{,}338582677\quad\text{(aproximação)}.çã
Calcule f(c_{2}) (aproximação numérica):
f(0{,}338582677)\approx -0{,}008860\quad(\text{aproximadamente}).
Como f(c_{2})<0 e f(a_{1})>0, a raiz está em [a_{2},b_{2}]=[0,\,0{,}338582677].
Observação pedagógica curta: nesta iteração os números exibem que a aproximação já se aproximou bastante da raiz; observe que |f(c_{2})| é da ordem de 10^{-2}.

Passo 6

Iteração 3: a_{2}=0,\; b_{2}\approx 0{,}338582677.
f(a_{2})=3,\qquad f(b_{2})\approx -0{,}008860.
Calcule c_{3} pela fórmula:
c_{3}= b_{2}-f(b_{2})\frac{b_{2}-a_{2}}{f(b_{2})-f(a_{2})} \approx 0{,}338582677 - (-0{,}008860)\frac{0{,}338582677}{-0{,}008860-3}.
Fazendo as contas:
c_{3}\approx 0{,}337633\quad(\text{aproximação}).çã
Calcule f(c_{3}) numericamente:
f(0{,}337633)\approx -2{,}4\times 10^{-4}.
Agora verifique o critério de parada: |f(c_{3})|\approx 2{,}4\times10^{-4}<5\cdot10^{-4}. Portanto a condição |f\text{(c)}|<\varepsilon está satisfeita e podemos parar.
Comentário sobre convergência: usamos intervalo inicial que contém exatamente uma raiz (mostrado por f(0)f(1)<0 e monotonicidade em [0,1]), então a Posição Falsa convergirá para essa raiz. Observação prática: a Posição Falsa costuma convergir bem quando uma das extremidades não fica “travada”; aqui em poucas iterações chegamos a |f\text{(c)}|<\varepsilon. Se tivesse ocorrido estagnação (muitas iterações sem melhorar), uma alternativa seria usar método da secante ou método da bisseção/algoritmos híbridos.

Resposta

0{,}337633

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