Questão: Utilizando o método da Posição Falsa, determine a primeira raiz positiva da função
. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.
Passo 1
O enunciado pede: utilizar o método da Posição Falsa (regula falsi) para determinar a primeira raiz positiva da função
com tolerância
.
Informações dadas e perguntas a responder:
- A função é
- A tolerância é
. - Preciso encontrar a primeira raiz positiva (ou seja, a menor raiz
) e parar quando a condição de parada escolhida baseada em for satisfeita. - É pedido justificar tudo o que for necessário para garantir convergência do método.
Passo 2
Verificação inicial: procurar um intervalo
com
para aplicar Posição Falsa. Calculo:
Como
e
, há pelo Teorema do Valor Intermediário (função polinomial é contínua) pelo menos uma raiz em
. Portanto podemos escolher
e
.
Justificativa de unicidade da raiz em
: calcule a derivada
Para
temos
, logo
em
. Portanto
é estritamente decrescente em
e só pode ter uma única raiz nesse intervalo. Isso é útil: garante que o método, mantendo o bracket em
, convergirá para essa única raiz positiva que queremos.
Passo 3
Explicação do método da Posição Falsa e fórmula usada: dado um intervalo
com
, a aproximação por Posição Falsa é obtida pela interseção da reta que passa por
e
com o eixo
. A fórmula é
ou equivalentemente
Aqui
e
são os extremos do intervalo atual e
é a nova aproximação. Depois se
tem sinal oposto a
substituímos
por
; se tiver sinal oposto a
substituímos
por
. Assim o novo intervalo continua a conter a raiz.
Critério de parada: o enunciado dá apenas
sem especificar se é para
ou
. Vou escolher como critério de parada a condição
porque é um critério direto para garantir que o valor da função na aproximação é pequeno (indica que estamos perto da raiz real). Também comentarei que outra opção seria checar
; porém em Posição Falsa pode ocorrer estagnação do intervalo em um extremo e isso tornaria o critério por diferença de
menos robusto. Assim, usarei
.
Passo 4
Iteração 1:
.
Aplicando a fórmula:
Calcule
:
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 5
Iteração 2:
.
Calcule
:
Efetuando as operações (pode-se simplificar numericamente):
Calcule
(aproximação numérica):
Como
e
, a raiz está em
.
Observação pedagógica curta: nesta iteração os números exibem que a aproximação já se aproximou bastante da raiz; observe que
é da ordem de
.
Passo 6
Iteração 3:
.
Calcule
pela fórmula:
Fazendo as contas:
Calcule
numericamente:
Agora verifique o critério de parada:
. Portanto a condição
está satisfeita e podemos parar.
Comentário sobre convergência: usamos intervalo inicial que contém exatamente uma raiz (mostrado por
e monotonicidade em
), então a Posição Falsa convergirá para essa raiz. Observação prática: a Posição Falsa costuma convergir bem quando uma das extremidades não fica “travada”; aqui em poucas iterações chegamos a
. Se tivesse ocorrido estagnação (muitas iterações sem melhorar), uma alternativa seria usar método da secante ou método da bisseção/algoritmos híbridos.
Resposta
0{,}337633