Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r} 8 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}=1 \\\\ -x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
a. Verifique se satisfaz o critério das linhas.
b. Resolva pelo método de Gauss-Jacobi com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]
c. Resolva pelo método de Gauss-Seidel com \varepsilon=0, 05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{r} 8 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}=1 \\\\ -x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
e pede três coisas:
  1. (a) Verificar o critério das linhas (ou seja, verificar se cada linha é estritamente diagonalmente dominante).
  2. (b) Resolver pelo método de Gauss–Jacobi com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\begin{bmatrix}0,125\\\ -0,25\\\ 0,125\\\ 0,25\end{bmatrix}.
  3. (c) Resolver pelo método de Gauss–Seidel com \varepsilon=0,05 e o mesmo X^{(0)}.
Informações úteis extraídas do enunciado (vou usar-as nas contas):
A=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 2 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 8 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é o “critério das linhas” (explicação didática rápida): queremos verificar se a matriz do sistema é estritamente diagonal dominante por linhas. Para cada linha i calculamos |a_{ii}| e comparamos com a soma das magnitudes dos outros coeficientes da mesma linha:
\text{verificar se }|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\quad\text{para todo }i.
Se isso ocorrer para todas as linhas, é garantia prática (suficiente) de convergência dos métodos iterativos Jacobi e Gauss–Seidel.
Agora calculo linha a linha (vou mostrar as contas):
Linha 1: |a_{11}|=|8|=8. Soma dos outros módulos: |2|+|-1|+|0|=2+1+0=3. Como 8>3, linha 1 satisfaz.
Linha 2: |a_{22}|=|-4|=4. Soma: |2|+|0|+|0|=2. Como 4>2, linha 2 satisfaz.
Linha 3: |a_{33}|=|8|=8. Soma: |0|+|-1|+|-1|=0+1+1=2. Como 8>2, linha 3 satisfaz.
Linha 4: |a_{44}|=|4|=4. Soma: |0|+|0|+|-1|=1. Como 4>1, linha 4 satisfaz.
Conclusão do passo: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, logo o critério das linhas é satisfeito.

Passo 3

Explico o método de Gauss–Jacobi (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Reescrever cada equação isolando a incógnita x_i na diagonal:
\begin{aligned} 8x_1&=1-2x_2+x_3\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{1-2x_2+x_3}{8},\\[4pt] -4x_2&=1-2x_1\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{2x_1-1}{4},\\[4pt] 8x_3&=1+x_2+x_4\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{1+x_2+x_4}{8},\\[4pt] 4x_4&=1+x_3\quad\Rightarrow\quad x_4=\frac{1+x_3}{4}. \end{aligned}
  1. No método de Jacobi, a iteração atual \,x_i^{(k+1)}, usa somente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todas as componentes. Ou seja, para cada k:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1-2x_2^{(k)}+x_3^{(k)}}{8},\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{2x_1^{(k)}-1}{4},\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1+x_2^{(k)}+x_4^{(k)}}{8},\\[4pt] x_4^{(k+1)}&=\frac{1+x_3^{(k)}}{4}. \end{aligned}
  1. Critério de parada (ensinando como aplicar): escolhemos a norma infinito do vetor diferença
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_\infty=\max_i|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|.
Parar quando \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_\infty<\varepsilon. Aqui \varepsilon=0,05.]

Passo 4

Iteração 0 (dado):
X^{(0)}=\begin{bmatrix}0,125\\[2pt]-0,25\\[2pt]0,125\\[2pt]0,25\end{bmatrix}.
Calculo X^{(1)} por Jacobi usando as fórmulas do passo anterior com todos os valores em ^{(0)}.
Cálculos (detalhados):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\frac{1-2(-0,25)+0,125}{8}=\frac{1+0,5+0,125}{8}=\frac{1,625}{8}=0,203125,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\frac{2\cdot 0,125-1}{4}=\frac{0,25-1}{4}=\frac{-0,75}{4}=-0,1875,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\frac{1+(-0,25)+0,25}{8}=\frac{1+0}{8}=\frac{1}{8}=0,125,\\[4pt] x_4^{(1)}&=\frac{1+0,125}{4}=\frac{1,125}{4}=0,28125. \end{aligned}
Logo
X^{(1)}=\begin{bmatrix}0,203125\\[2pt]-0,1875\\[2pt]0,125\\[2pt]0,28125\end{bmatrix}.
Agora calculo a diferença \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_\infty:
\begin{aligned} |0,203125-0,125|&=0,078125,\\\ |-0,1875-(-0,25)|&=0,0625,\\\ |0,125-0,125|&=0,\\\ |0,28125-0,25|&=0,03125. \end{aligned}
Portanto \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_\infty=0,078125, que é maior que 0,05. Ainda não podemos parar.]

Passo 5

Calculo X^{(2)} (Jacobi): uso sempre os valores da iteração ^{(1)}.
Cálculos:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\frac{1-2(-0,1875)+0,125}{8}=\frac{1+0,375+0,125}{8}=\frac{1,5}{8}=0,1875,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\frac{2\cdot 0,203125-1}{4}=\frac{0,40625-1}{4}=\frac{-0,59375}{4}=-0,1484375,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\frac{1+(-0,1875)+0,28125}{8}=\frac{1+0,09375}{8}=\frac{1,09375}{8}=0,13671875,\\[4pt] x_4^{(2)}&=\frac{1+0,125}{4}=\frac{1,125}{4}=0,28125\quad\text{(note que usa }x_3^{(1)}\text{)}. \end{aligned}
Logo
X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,1875\\[2pt]-0,1484375\\[2pt]0,13671875\\[2pt]0,28125\end{bmatrix}.
Diferença \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty:
\begin{aligned} |0,1875-0,203125|&=0,015625,\\\ |-0,1484375-(-0,1875)|&=0,0390625,\\\ |0,13671875-0,125|&=0,01171875,\\\ |0,28125-0,28125|&=0. \end{aligned}
Máximo = 0,0390625<0,05. Portanto, pelo critério de parada pedido, o método Jacobi convergiu em 2 iterações e a aproximação final é X^{(2)} acima.]

Passo 6

Explico o método de Gauss–Seidel (didática curta) e a diferença prática:
  • Nas mesmas fórmulas isoladas de cada x_i, o Gauss–Seidel atualiza sequencialmente e, dentro da mesma iteração, usa os valores mais recentes já calculados. Ou seja, para obter x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} se já disponível; para x_3^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)} etc. Isso normalmente acelera a convergência.
O esquema (para cada iteração k):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1-2x_2^{(k)}+x_3^{(k)}}{8},\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{2x_1^{(k+1)}-1}{4},\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1+x_2^{(k+1)}+x_4^{(k)}}{8},\\[4pt] x_4^{(k+1)}&=\frac{1+x_3^{(k+1)}}{4}. \end{aligned}]

Passo 7

Aplicando Gauss–Seidel com X^{(0)}=\begin{bmatrix}0,125\\\ -0,25\\\ 0,125\\\ 0,25\end{bmatrix} e \varepsilon=0,05.
Iteração 1 (uso atualizações em sequência):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\frac{1-2(-0,25)+0,125}{8}=\frac{1+0,5+0,125}{8}=0,203125,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\frac{2\cdot 0,203125-1}{4}=\frac{0,40625-1}{4}=-0,1484375,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\frac{1+(-0,1484375)+0,25}{8}=\frac{1+0,1015625}{8}=0,1376953125,\\[4pt] x_4^{(1)}&=\frac{1+0,1376953125}{4}=0,284423828125. \end{aligned}
Portanto
X^{(1)}=\begin{bmatrix}0,203125\\[2pt]-0,1484375\\[2pt]0,1376953125\\[2pt]0,284423828125\end{bmatrix}.
Calculo \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_\infty:
\max\{0,078125,\;0,1015625,\;0,0126953125,\;0,034423828125\}=0,1015625>0,05,
logo não paramos ainda.]

Passo 8

Iteração 2 (Gauss–Seidel), usando já x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)} conforme disponibilidade:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\frac{1-2(-0,1484375)+0,1376953125}{8}=\frac{1+0,296875+0,1376953125}{8}=0,1793212890625,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\frac{2\cdot 0,1793212890625-1}{4}=\frac{0,358642578125-1}{4}=-0,16033935546875,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\frac{1+(-0,16033935546875)+0,284423828125}{8}=\frac{1+0,12408447265625}{8}=0,14051055908203125,\\[4pt] x_4^{(2)}&=\frac{1+0,14051055908203125}{4}=0,2851276397705078125. \end{aligned}
Então
X^{(2)}=\begin{bmatrix} 0,1793212890625\\[2pt] -0,16033935546875\\[2pt] 0,14051055908203125\\[2pt] 0,2851276397705078125 \end{bmatrix}.
Agora \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty= máximo das diferenças:
\begin{aligned} |0,1793212890625-0,203125|&\approx0,0238037109375,\\\ |-0,16033935546875-(-0,1484375)|&\approx0,01190185546875,\\\ \ldots \end{aligned}
Máximo \approx0,0238037<0,05. Portanto o critério de parada foi atingido na segunda iteração também. O método Gauss–Seidel convergiu em 2 iterações e a aproximação final é X^{(2)} acima.]

Resposta

a) Sim — a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (para cada linha tem |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|).
b) Gauss–Jacobi: X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,1875\\[2pt]-0,1484375\\[2pt]0,13671875\\[2pt]0,28125\end{bmatrix} (convergência em 2 iterações, com \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty<0,05).
c) Gauss–Seidel: X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,1793212890625\\[2pt]-0,16033935546875\\[2pt]0,14051055908203125\\[2pt]0,2851276397705078125\end{bmatrix} (convergência em 2 iterações, com \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty<0,05).]

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