a. Verifique se satisfaz o critério das linhas.
b. Resolva pelo método de Gauss-Jacobi com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]
c. Resolva pelo método de Gauss-Seidel com \varepsilon=0, 05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]
O que é o “critério das linhas” (explicação didática rápida): queremos verificar se a matriz do sistema é estritamente diagonal dominante por linhas. Para cada linha i calculamos |a_{ii}| e comparamos com a soma das magnitudes dos outros coeficientes da mesma linha:
\text{verificar se }|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\quad\text{para todo }i.
Se isso ocorrer para todas as linhas, é garantia prática (suficiente) de convergência dos métodos iterativos Jacobi e Gauss–Seidel.
Agora calculo linha a linha (vou mostrar as contas):
Linha 1: |a_{11}|=|8|=8. Soma dos outros módulos: |2|+|-1|+|0|=2+1+0=3. Como 8>3, linha 1 satisfaz.
Linha 2: |a_{22}|=|-4|=4. Soma: |2|+|0|+|0|=2. Como 4>2, linha 2 satisfaz.
Linha 3: |a_{33}|=|8|=8. Soma: |0|+|-1|+|-1|=0+1+1=2. Como 8>2, linha 3 satisfaz.
Linha 4: |a_{44}|=|4|=4. Soma: |0|+|0|+|-1|=1. Como 4>1, linha 4 satisfaz.
Conclusão do passo: todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, logo o critério das linhas é satisfeito.
Passo 3
Explico o método de Gauss–Jacobi (passo a passo, sem pular etapas).
Reescrever cada equação isolando a incógnita x_i na diagonal:
No método de Jacobi, a iteração atual \,x_i^{(k+1)}, usa somente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para todas as componentes. Ou seja, para cada k:
Portanto \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_\infty=0,078125, que é maior que 0,05. Ainda não podemos parar.]
Passo 5
Calculo X^{(2)} (Jacobi): uso sempre os valores da iteração ^{(1)}.
Cálculos:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\frac{1-2(-0,1875)+0,125}{8}=\frac{1+0,375+0,125}{8}=\frac{1,5}{8}=0,1875,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\frac{2\cdot 0,203125-1}{4}=\frac{0,40625-1}{4}=\frac{-0,59375}{4}=-0,1484375,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\frac{1+(-0,1875)+0,28125}{8}=\frac{1+0,09375}{8}=\frac{1,09375}{8}=0,13671875,\\[4pt] x_4^{(2)}&=\frac{1+0,125}{4}=\frac{1,125}{4}=0,28125\quad\text{(note que usa }x_3^{(1)}\text{)}. \end{aligned}
Máximo = 0,0390625<0,05. Portanto, pelo critério de parada pedido, o método Jacobi convergiu em 2 iterações e a aproximação final é X^{(2)} acima.]
Passo 6
Explico o método de Gauss–Seidel (didática curta) e a diferença prática:
Nas mesmas fórmulas isoladas de cada x_i, o Gauss–Seidel atualiza sequencialmente e, dentro da mesma iteração, usa os valores mais recentes já calculados. Ou seja, para obter x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} se já disponível; para x_3^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)} etc. Isso normalmente acelera a convergência.
Máximo \approx0,0238037<0,05. Portanto o critério de parada foi atingido na segunda iteração também. O método Gauss–Seidel convergiu em 2 iterações e a aproximação final é X^{(2)} acima.]
Resposta
a) Sim — a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (para cada linha tem |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|).
b) Gauss–Jacobi: X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,1875\\[2pt]-0,1484375\\[2pt]0,13671875\\[2pt]0,28125\end{bmatrix} (convergência em 2 iterações, com \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty<0,05).
c) Gauss–Seidel: X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,1793212890625\\[2pt]-0,16033935546875\\[2pt]0,14051055908203125\\[2pt]0,2851276397705078125\end{bmatrix} (convergência em 2 iterações, com \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_\infty<0,05).]