([CHAPRA, 2008], Problema 5.2 - adaptada) Determine a raiz real de \mathrm{f}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}^{3}-5 \mathrm{x}^{2}+ 6 \mathrm{x}-2 usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais \mathrm{x} 0= 0 e x1 = 1 e continue até que o erro estimado \varepsilon fique abaixo de um nível \varepsilon s=10 \%.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a raiz real da função
usando o método da bissecção para localizar a raiz. As aproximações iniciais fornecidas são \mathrm{x}_0=0 e \mathrm{x}_1=1. Devo iterar até que o erro estimado \varepsilon fique abaixo do nível \varepsilon_s = 10\%.
O método da bissecção funciona assim (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Temos um intervalo [\mathrm{a},\mathrm{b}] tal que \mathrm{f}(\mathrm{a}) e \mathrm{f}(\mathrm{b}) têm sinais opostos; isso garante que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo (teorema do valor intermediário).
Calculamos o ponto médio do intervalo:
\mathrm{x}_r = \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}.
Avaliamos \mathrm{f}(\mathrm{x}_r). Se \mathrm{f}(\mathrm{a})\cdot\mathrm{f}(\mathrm{x}_r)<0, a raiz está em [\mathrm{a},\mathrm{x}_r]. Caso contrário, se \mathrm{f}(\mathrm{x}_r)\cdot\mathrm{f}(\mathrm{b})<0, a raiz está em [\mathrm{x}_r,\mathrm{b}].
Repetimos com o novo subintervalo até que o erro estimado seja aceitável.
Erro estimado usado aqui (erro percentual aproximado entre duas aproximações consecutivas):
Observação: na primeira iteração não temos \mathrm{x}_{r,\text{antigo}} para comparar, então só começamos a calcular \varepsilon a partir da segunda iteração. Esse \varepsilon é o erro relativo aproximado — útil para saber quando a aproximação não muda muito entre iterações.
Agora aplico o procedimento numérico passo a passo com os números do enunciado.
Como \mathrm{f}(0)=-2<0 e \mathrm{f}(1)=4>0, existe pelo menos uma raiz em (0,1). Podemos aplicar a bissecção.
Passo 4
Iteração 1:
\mathrm{x}_{r,1} = \frac{0+1}{2} = 0,5.
Avalio a função em \mathrm{x}_{r,1}:
\mathrm{f}(0,5)=5(0,5)^3-5(0,5)^2+6(0,5)-2.
Calculemos passo a passo:
(0,5)^3 = 0,125,\quad 5\cdot 0,125 = 0,625;
(0,5)^2 = 0,25,\quad -5\cdot 0,25 = -1,25;
6\cdot 0,5 = 3.
Somando:
\mathrm{f}(0,5)=0,625-1,25+3-2 = 0,375.
Como \mathrm{f}(0)=-2 e \mathrm{f}(0,5)=0,375 têm sinais opostos, a raiz está no intervalo [0,\,0,5]. Não calculamos \varepsilon ainda (esta é a primeira \mathrm{x}_r).
Passo 5
Iteração 2:
Novo intervalo: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[0,\,0,5].