([CHAPRA, 2008], Problema 5.2 - adaptada) Determine a raiz real de \mathrm{f}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}^{3}-5 \mathrm{x}^{2}+ 6 \mathrm{x}-2 usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais \mathrm{x} 0= 0 e x1 = 1 e continue até que o erro estimado \varepsilon fique abaixo de um nível \varepsilon s=10 \%.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a raiz real da função
\mathrm{f}(\mathrm{x}) = 5 \mathrm{x}^{3} - 5 \mathrm{x}^{2} + 6 \mathrm{x} - 2
usando o método da bissecção para localizar a raiz. As aproximações iniciais fornecidas são \mathrm{x}_0=0 e \mathrm{x}_1=1. Devo iterar até que o erro estimado \varepsilon fique abaixo do nível \varepsilon_s = 10\%.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{f}(\mathrm{x}) = 5 \mathrm{x}^{3} - 5 \mathrm{x}^{2} + 6 \mathrm{x} - 2,\qquad \text{intervalo inicial } [\mathrm{x}_0,\mathrm{x}_1]=[0,1],
\text{critério de parada: } \varepsilon < 10\%.é

Passo 2

O método da bissecção funciona assim (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Temos um intervalo [\mathrm{a},\mathrm{b}] tal que \mathrm{f}(\mathrm{a}) e \mathrm{f}(\mathrm{b}) têm sinais opostos; isso garante que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo (teorema do valor intermediário).
  • Calculamos o ponto médio do intervalo:
\mathrm{x}_r = \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}.
  • Avaliamos \mathrm{f}(\mathrm{x}_r). Se \mathrm{f}(\mathrm{a})\cdot\mathrm{f}(\mathrm{x}_r)<0, a raiz está em [\mathrm{a},\mathrm{x}_r]. Caso contrário, se \mathrm{f}(\mathrm{x}_r)\cdot\mathrm{f}(\mathrm{b})<0, a raiz está em [\mathrm{x}_r,\mathrm{b}].
  • Repetimos com o novo subintervalo até que o erro estimado seja aceitável.
Erro estimado usado aqui (erro percentual aproximado entre duas aproximações consecutivas):
\varepsilon = \left|\frac{\mathrm{x}_{r,\text{novo}}-\mathrm{x}_{r,\text{antigo}}}{\mathrm{x}_{r,\text{novo}}}\right|\times 100\%.
Observação: na primeira iteração não temos \mathrm{x}_{r,\text{antigo}} para comparar, então só começamos a calcular \varepsilon a partir da segunda iteração. Esse \varepsilon é o erro relativo aproximado — útil para saber quando a aproximação não muda muito entre iterações.
Agora aplico o procedimento numérico passo a passo com os números do enunciado.

Passo 3

Primeira verificação dos extremos do intervalo:
\mathrm{f}(0)=5\cdot 0^{3}-5\cdot 0^{2}+6\cdot 0-2 = -2.
\mathrm{f}(1)=5\cdot 1^{3}-5\cdot 1^{2}+6\cdot 1-2 = 5-5+6-2 = 4.
Como \mathrm{f}(0)=-2<0 e \mathrm{f}(1)=4>0, existe pelo menos uma raiz em (0,1). Podemos aplicar a bissecção.

Passo 4

Iteração 1:
\mathrm{x}_{r,1} = \frac{0+1}{2} = 0,5.
Avalio a função em \mathrm{x}_{r,1}:
\mathrm{f}(0,5)=5(0,5)^3-5(0,5)^2+6(0,5)-2.
Calculemos passo a passo:
(0,5)^3 = 0,125,\quad 5\cdot 0,125 = 0,625;
(0,5)^2 = 0,25,\quad -5\cdot 0,25 = -1,25;
6\cdot 0,5 = 3.
Somando:
\mathrm{f}(0,5)=0,625-1,25+3-2 = 0,375.
Como \mathrm{f}(0)=-2 e \mathrm{f}(0,5)=0,375 têm sinais opostos, a raiz está no intervalo [0,\,0,5]. Não calculamos \varepsilon ainda (esta é a primeira \mathrm{x}_r).

Passo 5

Iteração 2:
Novo intervalo: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[0,\,0,5].
\mathrm{x}_{r,2} = \frac{0+0,5}{2} = 0,25.
Avalio \mathrm{f}(0,25):
(0,25)^3 = 0,015625,\quad 5\cdot 0,015625 = 0,078125;
(0,25)^2 = 0,0625,\quad -5\cdot 0,0625 = -0,3125;
6\cdot 0,25 = 1,5.
Somando:
\mathrm{f}(0,25) = 0,078125 - 0,3125 + 1,5 - 2 = -0,734375.
Sinais: \mathrm{f}(0,25)=-0,734375<0 e \mathrm{f}(0,5)=0,375>0. Logo a raiz está em [0,25,\,0,5].
Agora calculo o erro percentual aproximado entre \mathrm{x}_{r,2} e \mathrm{x}_{r,1}:
\varepsilon = \left|\frac{0,25-0,5}{0,25}\right|\times 100\% = \left|\frac{-0,25}{0,25}\right|\times 100\% = 100\%.
Como \varepsilon = 100\% > 10\%, continuo.

Passo 6

Iteração 3:
Novo intervalo: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[0,25,\,0,5].
\mathrm{x}_{r,3} = \frac{0,25+0,5}{2} = 0,375.
Avalio \mathrm{f}(0,375):
(0,375)^3 = 0,052734375,\quad 5\cdot 0,052734375 = 0,263671875;
(0,375)^2 = 0,140625,\quad -5\cdot 0,140625 = -0,703125;
6\cdot 0,375 = 2,25.
Somando:
\mathrm{f}(0,375) = 0,263671875 -0,703125 +2,25 -2 = -0,189453125.
Sinais: \mathrm{f}(0,375) < 0 e \mathrm{f}(0,5) > 0, logo a raiz está em [0,375,\,0,5].
Erro percentual aproximado:
\varepsilon = \left|\frac{0,375-0,25}{0,375}\right|\times 100\% = \left|\frac{0,125}{0,375}\right|\times 100\% \approx 33{,}333\%.
Ainda maior que 10\%, continuo.

Passo 7

Iteração 4:
Novo intervalo: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[0,375,\,0,5].
\mathrm{x}_{r,4} = \frac{0,375+0,5}{2} = 0,4375.
Avalio \mathrm{f}(0,4375):
(0,4375)^3 = 0,083740234375,\quad 5\cdot 0,083740234375 = 0,418701171875;
(0,4375)^2 = 0,19140625,\quad -5\cdot 0,19140625 = -0,95703125;
6\cdot 0,4375 = 2,625.
Somando:
\mathrm{f}(0,4375) = 0,418701171875 -0,95703125 +2,625 -2 = 0,086669921875.
Sinais: \mathrm{f}(0,375) < 0 e \mathrm{f}(0,4375) > 0, logo a raiz está em [0,375,\,0,4375].
Erro percentual aproximado:
\varepsilon = \left|\frac{0,4375-0,375}{0,4375}\right|\times 100\% = \left|\frac{0,0625}{0,4375}\right|\times 100\% \approx 14{,}2857\%.
Ainda maior que 10\%, então prossigo.

Passo 8

Iteração 5:
Novo intervalo: [\mathrm{a},\mathrm{b}]=[0,375,\,0,4375].
\mathrm{x}_{r,5} = \frac{0,375+0,4375}{2} = 0,40625.
Avalio \mathrm{f}(0,40625):
(0,40625)^3 = 0,0670013427734375,\quad 5\cdot 0,0670013427734375 = 0,3350067138671875;
(0,40625)^2 = 0,16552734375,\quad -5\cdot 0,16552734375 = -0,82763671875;
6\cdot 0,40625 = 2,4375.
Somando:
\mathrm{f}(0,40625) = 0,3350067138671875 -0,82763671875 +2,4375 -2 = -0,0551300048828125.
Sinais: \mathrm{f}(0,40625) < 0 e \mathrm{f}(0,4375) > 0, logo a raiz está em [0,40625,\,0,4375].
Erro percentual aproximado:
\varepsilon = \left|\frac{0,40625-0,4375}{0,40625}\right|\times 100\% = \left|\frac{-0,03125}{0,40625}\right|\times 100\% \approx 7{,}6923\%.
Agora \varepsilon \approx 7{,}6923\% < 10\%. Portanto atingimos o critério de parada.

Resposta

\displaystyle x \approx 0,40625
\displaystyle \varepsilon \approx 7{,}6923\%

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