5^{\mathrm{a}} QUESTÃO - Utilize o Método dos Operadores para resolver o sistema de E.D.O.s:
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime}+y^{\prime}-y=0 \\\ x^{\prime}-4 x+2 y=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de E.D.O.s
\begin{cases} x' + y' - y = 0,\\\ x' - 4x + 2y = 0 \end{cases}
usando o método dos operadores diferenciais, em que definimos o operador D=\frac{d}{dt}. Vamos escrever cada equação em termos de D, eliminar uma das variáveis e obter uma E.D.O. para a outra, resolver essa E.D.O. e por fim determinar a variável eliminada.

Passo 2

Escrevendo as derivadas com D temos:
a) x' + y' - y = 0 vira
D\,x + (D - 1)\,y = 0.
b) x' - 4x + 2y = 0 vira
(D - 4)\,x + 2\,y = 0.

Passo 3

Da segunda equação isolamos x:
(D - 4)\,x = -2\,y \quad\Longrightarrow\quad x = -2\,\frac{1}{D - 4}\,y.
Substituindo em D\,x + (D-1)y=0:
D\Bigl(-2\,\tfrac{1}{D-4}y\Bigr) + (D-1)y = 0.
Para eliminar \tfrac{1}{D-4}, multiplicamos tudo por D-4:
-2D\,y + (D-1)(D-4)\,y = 0.
Expandindo (D-1)(D-4)=D^2-5D+4, obtemos
(D^2 -7D +4)\,y = 0.

Passo 4

A equação característica associada é
r^2 -7r +4 = 0.
Suas raízes são
r_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}.

Passo 5

A solução geral para y(t) é
y(t) = C_1\,e^{r_1 t} + C_2\,e^{r_2 t},
onde
r_1 = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \quad r_2 = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}.

Passo 6

Para x(t) usamos
x = -2\,\frac{1}{D-4}\,y.
Como \tfrac{1}{D-4}e^{r\,t}=\tfrac{1}{r-4}e^{r\,t}, segue
x(t) = -2\Bigl(\tfrac{C_1}{r_1-4}e^{r_1t} + \tfrac{C_2}{r_2-4}e^{r_2t}\Bigr).

Resposta

\begin{cases} y(t) = C_1\,e^{\frac{7 + \sqrt{33}}{2}\,t} + C_2\,e^{\frac{7 - \sqrt{33}}{2}\,t},\\[6pt] x(t) = -2\displaystyle\Bigl(\frac{C_1}{\frac{7 + \sqrt{33}}{2} - 4}\,e^{\frac{7 + \sqrt{33}}{2}\,t} + \frac{C_2}{\frac{7 - \sqrt{33}}{2} - 4}\,e^{\frac{7 - \sqrt{33}}{2}\,t}\Bigr), \end{cases}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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