Resolca as equações diferenciais ou os problemas de valor inicial:
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}=x y \quad \mathrm{R}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x^2+1)\,y' = x\,y.
Note que é uma equação separável, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por (x^2+1)\,y (supondo y\neq0) para obter
\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^2+1}.

Passo 3

Reconhecendo que y' = \dfrac{dy}{dx}, integramos em x:
\int \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}\,dx = \int \frac{x}{x^2+1}\,dx.
No lado esquerdo fica
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\!\bigl|y\bigr|,
e no direito usamos a substituição u = x^2+1, du = 2x\,dx, obtendo
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln\!u = \frac{1}{2}\ln\!(x^2+1).

Passo 4

Igualando as integrais e adicionando constante C:
\ln\!\bigl|y\bigr| = \frac{1}{2}\ln\!(x^2+1) + C.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y| = e^C\,(x^2+1)^{1/2}.
Chamando e^C de constante arbitrária K (podendo ser positiva ou negativa), obtemos a solução geral:
y = K\sqrt{x^2+1}.

Resposta

y = K\sqrt{x^2+1},\quad K\in\mathbb{R}.

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